Uppvärmningsuppgift: Huvudräkning. Boll kastas med farten 7m/s 45 graders vinkel. Hur långt kommer bollen? Var är farten som högst/lägst? Var är accelerationen som störst? 2/63 Verktyg kastas ut horisontellt från taket till en person på marken. Det passerar precis garagetaket som ligger (-4,6)m från startpunkten. Var landar verktyget sedan på marken 4m under garagetaket. Hur stor är den horisontella hastigheten vid start? Frågan om läget kan besvaras utan att beräkna hastigheten: Kvoten mellan höjdskillanderna 2=(8:4) ger att kvoten mellan tiderna är 2^0.5 och därmed även kvoten mellan sträckorna horisontellt. Den har alltså färdats 6m2^0.5 = 8.49 m, och har kommit 2.49 m bortom garageväggen. Tiden för fallet: använd h=at^2/2, vilket ger t=(2h/a)^0.5=(24m/(9,81m/s^2) )^0.5 = 0.903 s (behöver inte räknas ut) v=s/t= s*(a/2h)^0.5 = 6m/0.903s= 6.64m/s.	2/75 Minsta fart när projektilen lämnar punkt A för att komma till ett mål B 12 km bort. Vad behöver man komma ihåg till tentan? Att 45^o ger längsta skott utan luftmotstånd kan man komma ihåg. Mer tveksamt om man kommer ihåg s=v^2 sin (2v)/ 2g (sid 48). Bättre att ta fram den när man behöver Tid till högsta punkten: t/2=vy/g (efter denna tid har hastigheten i y-led blivit 0) Efter lika lång tid till har vy samma belopp men motsatt tecken mot mot vid utskjutningen. Sträcka efter t: 2vxvy/g I detta fall, när vinkeln skall vara 45^o gäller vx=vy=v/2^0.5, dvs 2= 2vx vy= v^2. För att komma 12 km krävs då farten V=(gs)^0.5=343m.
2/91: Baseboll kastas ut med 40m/s. Ska träffa en punkt 20 m bort som ligger (2.8-1.0)m=1.8 meter lägre. Hur mycket över ska man sikta? Första inspektion av problemet. Om rörelsen i höjdled försummas tar 20 en halv sekund. Under denna tid faller bollen 1.25 m. Återstår 0.55 m. Korrektion: Att sikta 55 cm under innebär att farten i x-led minskar. Hur mycket. Sträckan ökar från 20 m till 20.01m, dvs mindre än 0.05% Noggrannare: Att använda g=9,81m/s^2 (i stället för 10 m/s^2) innebär att den faller 1.226 m under 0.5s. Återstår 0.574m. Sträckan blir 20.0134. Tiden blir då något längre, 0.5004, vilket innebär att den faller lite längre i y-led. Korrigerad fallsträcka 1.228. Gör om: Den ska alltså kastas mot (20,-0.572)m Sträcka 20.008 som innebär att bollen faller 1.227m under tiden. Detta värde är konvergerat. Analytisk lösning: Sätt H=1.8m, x=H-h. L=20m, v=40m/s Tid: t=(x^2+L^2)^0.5/v Fall under den tiden. (H-x)=gt^2/2 Sätt in uttrycket för t x=H-gt^2/2=H- (g/2v^2)*(x^2+L^2) x^2 +2v^2x/g=2v^2H/g - L^2 Lös andragradsekvationen x=-v^2/g +- (v^4/g^2 +2v^2H/g - L^2)^0,5 Detta ger x=0,573, dvs h=1.8-x=1.227	2/101 Lastbil har accelerationen 0.4g när den passerar ett krön i konstant fart. Krökningsradien på vägen är 98 m och masscentrum är 2m över vägen. Hur fort åker lastbilen? R=(98+2)m=100m a=v^2/R=0.4g Kombination ger v= (0.4gR)^0,5 v= 19.8m/s = 71.3 km/h 2/113: Lästal. Band runt div. hjul. R1=0.1m, R2=0.05m ...* Normalkomponenten av accelerationen i P1: aN=40m/s^2=v^2/R1 ger farten, dvs v=(R1aN)^0,5=2m/s Bandets fart ökar, detta ges av tangentialaccelerationen vid P2, dvs aT=30m/s^2 (den måste vara samma överallt eftersom bandet hänger ihop) Hur stor är totala accelerationen i P1: a=(aN^2 + aT^2)^0.5=50m/s^2 i P2: Normal komponenten av a: aN(2)=v^2/R2=(R1/R2)aN(1)=80m/s^2 Total acc i P2: = 85.4m/s^2.
2/119: Partikel i x-y-plan. Beräkna krökningsradie och läge för t=2 Läsuppgift: För att ta sig igenom 2 56-57 r=(3t^2/2, 2t^3/3) v=(3t, 2t^2) a=(3, 4t) v_t = ve_t För t=2 får vi då v=(6,8)=10(0.6, 0.8) = 10e_t a=(3,8) a_t =(ae_t) e_t =8.2e_t=(4.92, 6.56) a_n=a-a_t= (-1.92,1.44)=2.4e_n e_n=(-0.8,0.6) Detta innebär enligt (2/10) s 57: a_t=8.2 =d\|v\|/dt a_n = v^2/rho Eftersom v=10 får vi rho=v^2/an=41,7m	2/133 skruv, roterande arm, O'=8rad/s (theta-prick) O''=-20 rad/s^2 r=200mm r'=-300mm/s r''=0 Bestäm a_r och a_O Inläsningsuppgift: (Ekv. 2/14, 2 69) a_r = r''-rO'^2= 0-(-0.2m)(8rad/s)^2= -12.8 m/s^2 a_O=rO'' + 2r'O' = 0.2m(-20rad/s^2) + 2 (-0.3m/s)*(+8rad/s) = -4m/s^2 - 4.8 m/s^2=-8.8m/s^2
2/141: Länken AB roterar och får länken AC att rotera. beta=60^o, beta'=0.6rad/s (konstant). Vad blir r, r', O' och O''. Utnyttja 2/13, 2/14 L=150mm, (r=150mm) Relation mellan mellan vinkeln beta och theta: Liksidig triangel: 2theta+beta=180, dvs theta=90-beta/2 Detta ger theta'=-beta'/2=-0.3rad/s (konstant, dvs theta''=0) r=2Lsin (beta/2)=2Lcos (theta) r'=dr/dt=- 2L sin(theta) theta' = - 150mm (3)^0.5(-0.3rad/s) = 77.9mm/s r''=-2Lsin(theta)theta'' - 2L cos(theta) (theta')^2 =0 - R(theta')^2= - 150mm*(theta')^2=13.5mm/s^2.	2/147
2/167 v=(4,-2,-1), a=8m/s^2, i 20^o vinkel. Beräkna v' och krökningsradie Beräkna först hastighetens belopp: v=(4^2+2^2+1)^0.5m/s=4.583m/s Accelerationens komponent parallellt med v blir a_t= a * cos(20^o)=7.5sm/s^2. Accelerationens komponent vinkelrätt mot hastigheten blir a_n= a * sin(20^o)=v^2/rho Krökningsradien blir då rho=v^2/(a*sin(20^o) )= 7.67 m	2/171 Korkskruv i berg-och-dalbana. R=5m, v=15m/s, tyngdkraftens komponent i rörelseriktningen g cos(gamma). Hastighetskomponent i cylinderns riktning: vZ= v sin(gamma). Beräkna totala accelerationen i denna punkt a_t=g cos(gamma) a_n=(v sin(gamma))^2/R a=( a_t + a_n)^0.5 = 27.5m/s^2.
2/175 Roterande vattenspruta, vinkelhastighet i rotationen K. Sprutan lutar beta från vertikalt. Vattnet rör sig med farten c relativt sprutan. Skriv uttryck för hastighet och acceleration för vattnet i ett gotyckligt läge l inne i sprutan Hastighet pga rotationen är vinkelrät mot röret, dvs v=(c^2 + l^2 sin(beta)^2 K^2)^0.5

Uppvärmningsuppgift: Huvudräkning. Boll kastas med farten 7m/s 45 graders vinkel. Hur långt kommer bollen? Var är farten som högst/lägst? Var är accelerationen som störst? 2/63 Verktyg kastas ut horisontellt från taket till en person på marken. Det passerar precis garagetaket som ligger (-4,6)m från startpunkten. Var landar verktyget sedan på marken 4m under garagetaket. Hur stor är den horisontella hastigheten vid start? Frågan om läget kan besvaras utan att beräkna hastigheten: Kvoten mellan höjdskillanderna 2=(8:4) ger att kvoten mellan tiderna är 2^0.5 och därmed även kvoten mellan sträckorna horisontellt. Den har alltså färdats 6m2^0.5 = 8.49 m, och har kommit 2.49 m bortom garageväggen. Tiden för fallet: använd h=at^2/2, vilket ger t=(2h/a)^0.5=(24m/(9,81m/s^2) )^0.5 = 0.903 s (behöver inte räknas ut) v=s/t= s*(a/2h)^0.5 = 6m/0.903s= 6.64m/s.	2/75 Minsta fart när projektilen lämnar punkt A för att komma till ett mål B 12 km bort. Vad behöver man komma ihåg till tentan? Att 45^o ger längsta skott utan luftmotstånd kan man komma ihåg. Mer tveksamt om man kommer ihåg s=v^2 sin (2v)/ 2g (sid 48). Bättre att ta fram den när man behöver Tid till högsta punkten: t/2=vy/g (efter denna tid har hastigheten i y-led blivit 0) Efter lika lång tid till har vy samma belopp men motsatt tecken mot mot vid utskjutningen. Sträcka efter t: 2vxvy/g I detta fall, när vinkeln skall vara 45^o gäller vx=vy=v/2^0.5, dvs 2= 2vx vy= v^2. För att komma 12 km krävs då farten V=(gs)^0.5=343m.
2/91: Baseboll kastas ut med 40m/s. Ska träffa en punkt 20 m bort som ligger (2.8-1.0)m=1.8 meter lägre. Hur mycket över ska man sikta? Första inspektion av problemet. Om rörelsen i höjdled försummas tar 20 en halv sekund. Under denna tid faller bollen 1.25 m. Återstår 0.55 m. Korrektion: Att sikta 55 cm under innebär att farten i x-led minskar. Hur mycket. Sträckan ökar från 20 m till 20.01m, dvs mindre än 0.05% Noggrannare: Att använda g=9,81m/s^2 (i stället för 10 m/s^2) innebär att den faller 1.226 m under 0.5s. Återstår 0.574m. Sträckan blir 20.0134. Tiden blir då något längre, 0.5004, vilket innebär att den faller lite längre i y-led. Korrigerad fallsträcka 1.228. Gör om: Den ska alltså kastas mot (20,-0.572)m Sträcka 20.008 som innebär att bollen faller 1.227m under tiden. Detta värde är konvergerat. Analytisk lösning: Sätt H=1.8m, x=H-h. L=20m, v=40m/s Tid: t=(x^2+L^2)^0.5/v Fall under den tiden. (H-x)=gt^2/2 Sätt in uttrycket för t x=H-gt^2/2=H- (g/2v^2)*(x^2+L^2) x^2 +2v^2x/g=2v^2H/g - L^2 Lös andragradsekvationen x=-v^2/g +- (v^4/g^2 +2v^2H/g - L^2)^0,5 Detta ger x=0,573, dvs h=1.8-x=1.227	2/101 Lastbil har accelerationen 0.4g när den passerar ett krön i konstant fart. Krökningsradien på vägen är 98 m och masscentrum är 2m över vägen. Hur fort åker lastbilen? R=(98+2)m=100m a=v^2/R=0.4g Kombination ger v= (0.4gR)^0,5 v= 19.8m/s = 71.3 km/h 2/113: Lästal. Band runt div. hjul. R1=0.1m, R2=0.05m ...* Normalkomponenten av accelerationen i P1: aN=40m/s^2=v^2/R1 ger farten, dvs v=(R1aN)^0,5=2m/s Bandets fart ökar, detta ges av tangentialaccelerationen vid P2, dvs aT=30m/s^2 (den måste vara samma överallt eftersom bandet hänger ihop) Hur stor är totala accelerationen i P1: a=(aN^2 + aT^2)^0.5=50m/s^2 i P2: Normal komponenten av a: aN(2)=v^2/R2=(R1/R2)aN(1)=80m/s^2 Total acc i P2: = 85.4m/s^2.
2/119: Partikel i x-y-plan. Beräkna krökningsradie och läge för t=2 Läsuppgift: För att ta sig igenom 2 56-57 r=(3t^2/2, 2t^3/3) v=(3t, 2t^2) a=(3, 4t) v_t = ve_t För t=2 får vi då v=(6,8)=10(0.6, 0.8) = 10e_t a=(3,8) a_t =(ae_t) e_t =8.2e_t=(4.92, 6.56) a_n=a-a_t= (-1.92,1.44)=2.4e_n e_n=(-0.8,0.6) Detta innebär enligt (2/10) s 57: a_t=8.2 =d\|v\|/dt a_n = v^2/rho Eftersom v=10 får vi rho=v^2/an=41,7m	2/133 skruv, roterande arm, O'=8rad/s (theta-prick) O''=-20 rad/s^2 r=200mm r'=-300mm/s r''=0 Bestäm a_r och a_O Inläsningsuppgift: (Ekv. 2/14, 2 69) a_r = r''-rO'^2= 0-(-0.2m)(8rad/s)^2= -12.8 m/s^2 a_O=rO'' + 2r'O' = 0.2m(-20rad/s^2) + 2 (-0.3m/s)*(+8rad/s) = -4m/s^2 - 4.8 m/s^2=-8.8m/s^2
2/141: Länken AB roterar och får länken AC att rotera. beta=60^o, beta'=0.6rad/s (konstant). Vad blir r, r', O' och O''. Utnyttja 2/13, 2/14 L=150mm, (r=150mm) Relation mellan mellan vinkeln beta och theta: Liksidig triangel: 2theta+beta=180, dvs theta=90-beta/2 Detta ger theta'=-beta'/2=-0.3rad/s (konstant, dvs theta''=0) r=2Lsin (beta/2)=2Lcos (theta) r'=dr/dt=- 2L sin(theta) theta' = - 150mm (3)^0.5(-0.3rad/s) = 77.9mm/s r''=-2Lsin(theta)theta'' - 2L cos(theta) (theta')^2 =0 - R(theta')^2= - 150mm*(theta')^2=13.5mm/s^2.	2/147
2/167 v=(4,-2,-1), a=8m/s^2, i 20^o vinkel. Beräkna v' och krökningsradie Beräkna först hastighetens belopp: v=(4^2+2^2+1)^0.5m/s=4.583m/s Accelerationens komponent parallellt med v blir a_t= a * cos(20^o)=7.5sm/s^2. Accelerationens komponent vinkelrätt mot hastigheten blir a_n= a * sin(20^o)=v^2/rho Krökningsradien blir då rho=v^2/(a*sin(20^o) )= 7.67 m	2/171 Korkskruv i berg-och-dalbana. R=5m, v=15m/s, tyngdkraftens komponent i rörelseriktningen g cos(gamma). Hastighetskomponent i cylinderns riktning: vZ= v sin(gamma). Beräkna totala accelerationen i denna punkt a_t=g cos(gamma) a_n=(v sin(gamma))^2/R a=( a_t + a_n)^0.5 = 27.5m/s^2.
2/175 Roterande vattenspruta, vinkelhastighet i rotationen K. Sprutan lutar beta från vertikalt. Vattnet rör sig med farten c relativt sprutan. Skriv uttryck för hastighet och acceleration för vattnet i ett gotyckligt läge l inne i sprutan Hastighet pga rotationen är vinkelrät mot röret, dvs v=(c^2 + l^2 sin(beta)^2 K^2)^0.5