2/177, x=3km, v=v₀=250 km/h in en vinkel b= 15^o över horisontalplanet i det vertikala y-z-planet. Planet accelererar a₀ =0.8m/s^2 färdriktningen. Bestäm flygplanets hastighet 60s efter takeoff. Bestäm Rp, thetap och fip i det ögonblicket.

R=(x,0,0)+ (v_0t+a_0t^2/2)(0,cos b,sinb)
v=v_0 (0, cosb, sinb)
a=a_0(0, cosb, sinb)

Avstånd och ändring:

R=(x^2+(vt+at^2/2)^2)^0.5
Rp= (v+at)(vt+at^2/2) /R
Alternativt kan vi utnyttja v_R=(v^. e_R)

Enhetsvektorer:

e_R=(x,y,z)/R =(re_r + ze_z)/(r^2+z^2)^0.5
e_th=(-y e_x + x e_y)/(x^2+y^2)^0.5
e_fi= e_R x e_th
alt: e_fi=(-ze_r + re_z)/(r^2+z^2)^0.5

Dessa kan utnyttjas för att får fram thetap och fip

theta-prick=v_th/(R cos fi)
(cos fi=r/R) ger theta-prick=v_th/r
fi-prick= v_fi/R

Ur excel-blad

e_R=(0.180, 0.950, 0.255)
e_theta=(-0.983, 0.186,0)
e_fi=(-0.047, -0.250,0.967)

Uttryck

v.e_R=103,6 m/s=R-prick
v_theta=54.0m/s
v_fi=6.95m/s
theta_prick=8.88E-3/s
fi_prick=1.093E-3/s

2/179 Ett flygplan flyger runt i en horisontell cirkel med radie b på höjden h. Cirkelns centrum är i (0,b,h) och farten är u. Skriv ned uttrycken för hastighetens komponenter i sfäriska koordinater vid en tidpunkt då planet har flugit en vinkel beta i sin cirkelbana efter att ha passerat punkten (0,0,h)

Planets läge och hastighet i cartesiska koordinater:

R=(b sin beta, b(1-cos beta),h)
v=u(cos beta, sin beta, 0)

Den radiella komponenten kan bestämmas direkt som

v_R=v^.R/R
=ub(sin beta cos beta + sin beta - sin beta cos beta)/ [ b²{sin²beta + 1 + sin²beta -2 cos beta + h²} ]
Nämnaren kan skrivas om som
2(1-cos beta) = 4 sin²(beta/2)

Nästa steg är att bestämma enhetsvektorer för theta och fi-komponenterna.

Observera först att theta=beta/2. För att se detta kan man först prova t.ex. för 0, 60, 90, 180 och sedan titta på en likbent triangel i x-y-planet: (origo - (0,b) - (r sin beta, r(1-cos beta))) Dela den tredje sidan på mitten och titta på den rätvinkliga triangeln med vinklarna beta/2 och (90-theta)
För att få fram e_theta kan vi först titta på vektorn r i xy-planet och se att e_theta måste vara vinkelrät mot denna, vilket ger:
e_theta=(-sin theta, cos theta, 0) För att få den tredje enhetsvektorn, e_fi kan vi använda att de tre vektorerna är ett högersystem och utnyttja kryssprodukt:
e_fi= e_R x e_theta
(där e_R=R/R). Detta ger
e_fi=(-h cos theta, - h sin theta, b(sin beta * cos theta + sin theta * (1-cos beta)) )
(z-komponenten spelar ingen roll i skalärprodukten med v )
v_fi=v^.e_fi = -hu(sin beta sin theta + cos beta cos theta)/R
täljaren kan skrivas om genom att utnyttja cos a cos b - sin a sin b = cos(a+b), vilket ger cos(beta/2)

2/181 Roterande kran. Armens längd, OP, R=24 m, roterar kring sin vertikala axel med w=theta'=2 varv/min. Samtidigt ändras lutningen med en konstant vinkelhastighet beta'=0.10 rad/s. Beräkna hastighet och acceleration för P när läget beta=30^o passeras.

(Använd 2/18 - 2/19, s 83)
Notera att fi=90-beta, dvs fi=60 och fi'=-0.1 rad/s
Notera också att theta'= 2*360^o/60s= 12^o/s
v_theta=R theta' * cos (fi) =2.51m/s
v_fi=R*fi'= -2.4 m/s
v= 3.48m
För givna förutsättningar försvinner några termer i a. Vi får kvar:
a_R=-R*fi'^2 - R*theta'^2*cos^2fi= -24*0.1^2-24*theta'/4 = -0.26
a_theta= - 2R*theta'*fi'*sin fi =-2*24*theta'*fi'*(3^0.5 /2)
a_fi=R*theta'^2*sin(fi)*cos(fi)
a_tot= 1.017m/s^2.