(3/179), (3/181), (3/187), 3/189, 3/195, 3/201, 3/207, 3/213, (3/223), 3/231, 3/235, 3/239

Uppvärming: Gummikula och aluminiumkula, samma fart, form och massa träffar en stock som står uppställd. Vilken av kulorna har mest chans att välta stocken?

(3/143)

(3/147)

3/153 Loop i nöjesfält, konstant centripetalacceleration genom loopen. Skriv ett uttrryck för krökningsradien r som funktion av höjden y över en lägsta punkt A, där farten och krökningsradien ges av v0 och y0

Centripetalaccelerationen ges av v^2/r.
Kinetiska energin avtar med höjden, vilket ger v0^2-v^2= 2gy eller v^2=v0^2 - 2gy
Enligt uppgiften skall v0^2/r0=v^2/r, vilket ger
r=r0*(v^2/v0^2)=r0*(1-2gy/v0^2)
För att tåget inte skall falla ner (utan att hjulen håller emot) krävs att centripetalaccelerationen i högsta punkten (och på alla andra ställen i loopen) är minst g, vilket ger r0=v0^2/g.

3/167 Två rätvinkliga stavar (60mm x-led + 180mm y-led) slutar i 2kg massor som förenas av en fjäder vars fjäderkonstant sökes. Systemet startar från vila med stavarna med vinkeln b=0 och fjädern i viloläge. När det släpps faller stavarna nedåt till ett vändläge med b=45 grader. Bestäm k.

Vikterna sjunker från 0,180m till 0,0848m.
Detta ger en skillnad i gravitationsenergi på (-Lx sin 45 + Ly(cos45-1) )=3.734N=Ep
Samtidigt har fjädern töjts ut med 2*(Lx(cos 45-1) + Ly sin 45)=0,219m=x.
Fjäderkonstanten fås då ur: kx^2/2=Ep, dvs
k=2Ep/x^2=155.1N/

3/173 En ring, m=0.6 kg startar från vila i punkt A (-0.5,0.25) från centrum, och glider utmed en parabolisk stång, vars lägsta punkt, B, ligger (-0.25,0)m från centrum. Ringen sitter fast i centrum med en fjäder, k=120N/m, med vilolängd L0=0.2m. Bestäm ringens fart då den passerar B och den motsvarande normalkraften som utövas av stången.

Fjäderns längd vid start: LA=0.559m
Fjäderns längd vid nedersta punkten: LB=0.25m
Elastisk energi: k*(x-L0)^2/2: Skillnad: (7.734-0.15)J
Skillnad i gravitations-potentiell energi: mgh: 2,943
Både fjäder och tyngdkraft bidrar till ökad fart: Addera: 10.526J
Detta ger farten: v=5.92m/s
Om O sitter i centrum av den cirkel som tangerar lägsta punkten. blir krökningsradien R=0.25m och Normalkraften ges av N=m(v^2/R+g)- k(LB-L0)=84.1N

Kommentar: Hur vet vi att O sitter i centrum?

Parabeln kan uttryckas som y=x^2/(0.5m)
Koordinaterna i en cirkel med radie r med centrum i (0,r) kan skrivas som
x=r sin b,
y=r(1-cos b) = 2 r sin^2(b/2)
För små b kan sinb approximeras med b och y blir då
y=x^2/2r
Jämförelse ger r=0.25 i det aktuella fallet.

26 feb

3/179, ma= 75kg projektil, fart VA=600m/s träffar och tränger in i ett MB=50kg klump på hjul som är i vila innan den träffas. Hur mycket energi förloras i stöten? Hur många procent? Rörelsemängdens bevarande: maVa=(ma+MB)vB,där vB är den gemensamma farten efter stöten. vB= VAmA/(MB+mA)=VAmA/MB(1+ma/MB) =0.899m/s Rörelseenergi före: E_k,f= mAVA^2/2=13.5kJ, Efter: E_k,e=(MB+mA)vB^2/2 =20.2J Förlusten blir 13.48kJ=99.9% Kan skrivas som E_k,e= (MB+mA)[VAmA/(MB+mA)]^2/2 =mA^2VA^2/(MB+mA) /2 = E_k,fmA/(mA+MB) Förlusten blir (1-0.9985)* E_k,f, avrundas till 0.999 (0.998502)	3/181 Järnvägsvagn A, MA=80ton åker på horistonellt spår med farten vA=3km/h. Vagnen B (MB=60 ton, vB=5kM/h) passerar A och kopplas sedan samman. Hur stor blir farten efter sammankopplingen? Hur stor är energiförlusten? inelastisk kollision, rörelsemängden bevaras, men inte energin MA=80; MB=60; vA=3; vB=5; Eka=MAvA^2/2; Ekb=MBvB^2/2 (MAvA+MBvB)=(MA+MB)V V=(MAvA+MBvB)/(MA+MB)=3.86km/h Rörelseenergi före: Ek= (360+750)kJ Rörelseenergi efter: Ek=(MA+MB)V^2/2=1041KJ Förlust: 68.6kJ (facit?)
3/187: Pilot i M=40 ton flygplan. Flyger 650 km/h horisontellt. Stänger av motorerna och glider nedåt (b=5⁰). Efter 120s är farten 600km/h. Beräkna tidsmedelvärdet av kraften D från luftmotståndet. De krafter som verkar i planets färdriktning är Mgsinb (i planets riktning) och D (motriktad rörelsen) Utnyttja Newtons 2:a i formen F=dP/dt (eller dG/dt i bokens beteckningar) Ändringen i rörelsemängd under dt=120 s är dP=MdV= M(650km/h-600km/h) Detta ger en genomsnittlig kraft: Mgsinb-D = MdV /dt M=4E4; b=5pi/180;dV=-50/3.6;dt=120;g=9.81; D=M(gsin(b) - dV/dt)=2.9570e+043.883E4N =38.8kN
3/189 Rymdfärja, MA=90ton, skickar iväg en satellit, MB=800kg, vB=0.3m/s uppåt från rymdfärjan. Hur mycket ändras rymdfärjans fart i höjdled? Hur stor är den genomsnittliga kraften på satelliten om det tar 4s att skicka ut den? MA=9E4; MB=800, VB=0.3; t=4s; vA=-VBMB/MA = 0.0269m/s F=MBVB/t=60N Tag hänsyn till Masscentrums rörelse.VB-VA=VAB=0.3m/s VB(1+MB/MA)=VAB 0.3 VA=MBVAB/(MA+MB)=0.2643 VB=MAVAB/(MA+MB) F=MBVB/t=59.47N	3/195 En "ram" MA=450kg, faller h=1.4m från vila och träffar toppen av en MB=240kg påle som har trängt 0.9m ned i jorden. Hur stor är deras gemensamma hastighet direkt efter kollisionen? Fall 1.4m. vA=(2gh)^0.5 = 5.24m/s MA=450; MB=240; vA=(21.49.81)^0.5; Efter: VAB=MA*vA/(MA+MB)=3.418m/s Kommentar: Kort ögonblick, tyngdkraften kan försummas i förhållande till kraften mellan A och B
3/201: Rymdskepp: v_S=(0,2000,0), ms=1000, träffas av meteorit, vm=5000m/s, riktning: (5,-4,-2); MEteoriten fastnar i rymdskeppet. Beräkna rymdskeppets hastighet, v efter kollisionen och vinkleln mellan och v v_S vS=[0,2000,0]; em=[5,-4,-2]; vm=5000em/norm(em); mS=1000; mm=10; vefter=(mSvS+mmvm)/(mS+mm)=(1E3(0.0369 1.9507 -0.0148) beta=acos(veftervS'/(norm(vefter)norm(vS)))*180/pi
3/207 En vagn (m=6kg) rör sig nedför ett lutande plan (b=15^o) med v0=20m/s vid t=0 då kraften P börjar verka, P=kt^2 fram till t=5 då kraften nått sin högsta nivå P0=50N och därefter är konstant. Bestäm vagnens fart vid t=8s. Vid vilken tidpunkt stannar vagnen? P= -kt^2= -2 t^2 (N/s^2) (motriktad rörelsen) Tyngdkraften, nedåt: Fg= mgsin(b) ( i rörelsens riktning) Rörelsemängd före: mv0 Rörelsemängd efter:DeltaP(t)= mv-mv0= integral (Fg+P)dt DeltaP(t)= Fgt - kt^3/3 (fram till t=5), därefter: DeltaP (t>5s )= DeltaP(5)+(Fg-P0)(t-5s) m=6; v0=20; P0=50; k=2;b=15pi/180; p0=mv0=120kgm/s Fg=m9.81sin(b)=15.23N Efter 5s: t=5; DeltaP5 = (Fgt-kt^3/3)=-7.1629 Efter 8 s: DeltaP8=DeltaP5+(Fg-P0)*3=-111.46 Dvs p(8s): p8=p0+DeltaP8=8.54 v8=p8/m=1.423m/s För v=0 krävs: (t-5s): tm5=-(p0+DeltaP5)/(Fg-P0)=3.2456s, dvs Vagnen stannar vid t=8.2456s.	3/213: Tennisspelare träffar tennisbollen (m=60g) medan den fortfarande är på väg upp (vf=15m/s, 10^o). Den lämnar sedan racketen med farten ve=22m/s, 20^o uppåt. Antag att bollen är i kontakt med racketen under 0.05s. Vilken är den genomsnittliga kraften under denna tid? I vilken vinkel över horisontalplanet? m=0.06; alfa=10pi/180; alfae=2alfa; t=0.05; ef=[-cos(alfa),sin(alfa)]; ee=[cos(alfae),sin(alfae)]; vf=15; ve=22; DeltaP=mdeltaV= m(veee-vfef) R=m(veee-vfef)/t. Norm(R)=42.94N(om mg försummas) R=[m(veee-vfef)]/t+ m[0,9.81] norm(R)=43.03N Vinkel: beta=atan(R(2)/R(1))180/pi = 8.678^o
3/223	3/231: Angular momentum conservation
235	239 v kan delas upp i en komponent, vz=v0sin(beta)-gt^2/2 och en vinkelrät komponent som bara går runt cirkeln v_h=v0cos(beta) och inte påverkas av tyngdkraften. vertikalkompontenten för en viss höjd blir vv=(v0sin(beta))^2+2gh)^0.5 för vinkeln theta gäller då cos(theta)=v0cos(beta)/ (v0^2*cos^2(beta)+v0^2sin^2(beta) + 2gh)^0.5 cos(beta)/(1+2gh)^0.5

3/179, ma= 75kg projektil, fart VA=600m/s träffar och tränger in i ett MB=50kg klump på hjul som är i vila innan den träffas. Hur mycket energi förloras i stöten? Hur många procent? Rörelsemängdens bevarande: maVa=(ma+MB)vB,där vB är den gemensamma farten efter stöten. vB= VAmA/(MB+mA)=VAmA/MB(1+ma/MB) =0.899m/s Rörelseenergi före: E_k,f= mAVA^2/2=13.5kJ, Efter: E_k,e=(MB+mA)vB^2/2 =20.2J Förlusten blir 13.48kJ=99.9% Kan skrivas som E_k,e= (MB+mA)[VAmA/(MB+mA)]^2/2 =mA^2VA^2/(MB+mA) /2 = E_k,fmA/(mA+MB) Förlusten blir (1-0.9985)* E_k,f, avrundas till 0.999 (0.998502)	3/181 Järnvägsvagn A, MA=80ton åker på horistonellt spår med farten vA=3km/h. Vagnen B (MB=60 ton, vB=5kM/h) passerar A och kopplas sedan samman. Hur stor blir farten efter sammankopplingen? Hur stor är energiförlusten? inelastisk kollision, rörelsemängden bevaras, men inte energin MA=80; MB=60; vA=3; vB=5; Eka=MAvA^2/2; Ekb=MBvB^2/2 (MAvA+MBvB)=(MA+MB)V V=(MAvA+MBvB)/(MA+MB)=3.86km/h Rörelseenergi före: Ek= (360+750)kJ Rörelseenergi efter: Ek=(MA+MB)V^2/2=1041KJ Förlust: 68.6kJ (facit?)
3/187: Pilot i M=40 ton flygplan. Flyger 650 km/h horisontellt. Stänger av motorerna och glider nedåt (b=5⁰). Efter 120s är farten 600km/h. Beräkna tidsmedelvärdet av kraften D från luftmotståndet. De krafter som verkar i planets färdriktning är Mgsinb (i planets riktning) och D (motriktad rörelsen) Utnyttja Newtons 2:a i formen F=dP/dt (eller dG/dt i bokens beteckningar) Ändringen i rörelsemängd under dt=120 s är dP=MdV= M(650km/h-600km/h) Detta ger en genomsnittlig kraft: Mgsinb-D = MdV /dt M=4E4; b=5pi/180;dV=-50/3.6;dt=120;g=9.81; D=M(gsin(b) - dV/dt)=2.9570e+043.883E4N =38.8kN
3/189 Rymdfärja, MA=90ton, skickar iväg en satellit, MB=800kg, vB=0.3m/s uppåt från rymdfärjan. Hur mycket ändras rymdfärjans fart i höjdled? Hur stor är den genomsnittliga kraften på satelliten om det tar 4s att skicka ut den? MA=9E4; MB=800, VB=0.3; t=4s; vA=-VBMB/MA = 0.0269m/s F=MBVB/t=60N Tag hänsyn till Masscentrums rörelse.VB-VA=VAB=0.3m/s VB(1+MB/MA)=VAB 0.3 VA=MBVAB/(MA+MB)=0.2643 VB=MAVAB/(MA+MB) F=MBVB/t=59.47N	3/195 En "ram" MA=450kg, faller h=1.4m från vila och träffar toppen av en MB=240kg påle som har trängt 0.9m ned i jorden. Hur stor är deras gemensamma hastighet direkt efter kollisionen? Fall 1.4m. vA=(2gh)^0.5 = 5.24m/s MA=450; MB=240; vA=(21.49.81)^0.5; Efter: VAB=MA*vA/(MA+MB)=3.418m/s Kommentar: Kort ögonblick, tyngdkraften kan försummas i förhållande till kraften mellan A och B
3/201: Rymdskepp: v_S=(0,2000,0), ms=1000, träffas av meteorit, vm=5000m/s, riktning: (5,-4,-2); MEteoriten fastnar i rymdskeppet. Beräkna rymdskeppets hastighet, v efter kollisionen och vinkleln mellan och v v_S vS=[0,2000,0]; em=[5,-4,-2]; vm=5000em/norm(em); mS=1000; mm=10; vefter=(mSvS+mmvm)/(mS+mm)=(1E3(0.0369 1.9507 -0.0148) beta=acos(veftervS'/(norm(vefter)norm(vS)))*180/pi
3/207 En vagn (m=6kg) rör sig nedför ett lutande plan (b=15^o) med v0=20m/s vid t=0 då kraften P börjar verka, P=kt^2 fram till t=5 då kraften nått sin högsta nivå P0=50N och därefter är konstant. Bestäm vagnens fart vid t=8s. Vid vilken tidpunkt stannar vagnen? P= -kt^2= -2 t^2 (N/s^2) (motriktad rörelsen) Tyngdkraften, nedåt: Fg= mgsin(b) ( i rörelsens riktning) Rörelsemängd före: mv0 Rörelsemängd efter:DeltaP(t)= mv-mv0= integral (Fg+P)dt DeltaP(t)= Fgt - kt^3/3 (fram till t=5), därefter: DeltaP (t>5s )= DeltaP(5)+(Fg-P0)(t-5s) m=6; v0=20; P0=50; k=2;b=15pi/180; p0=mv0=120kgm/s Fg=m9.81sin(b)=15.23N Efter 5s: t=5; DeltaP5 = (Fgt-kt^3/3)=-7.1629 Efter 8 s: DeltaP8=DeltaP5+(Fg-P0)*3=-111.46 Dvs p(8s): p8=p0+DeltaP8=8.54 v8=p8/m=1.423m/s För v=0 krävs: (t-5s): tm5=-(p0+DeltaP5)/(Fg-P0)=3.2456s, dvs Vagnen stannar vid t=8.2456s.	3/213: Tennisspelare träffar tennisbollen (m=60g) medan den fortfarande är på väg upp (vf=15m/s, 10^o). Den lämnar sedan racketen med farten ve=22m/s, 20^o uppåt. Antag att bollen är i kontakt med racketen under 0.05s. Vilken är den genomsnittliga kraften under denna tid? I vilken vinkel över horisontalplanet? m=0.06; alfa=10pi/180; alfae=2alfa; t=0.05; ef=[-cos(alfa),sin(alfa)]; ee=[cos(alfae),sin(alfae)]; vf=15; ve=22; DeltaP=mdeltaV= m(veee-vfef) R=m(veee-vfef)/t. Norm(R)=42.94N(om mg försummas) R=[m(veee-vfef)]/t+ m[0,9.81] norm(R)=43.03N Vinkel: beta=atan(R(2)/R(1))180/pi = 8.678^o
3/223	3/231: Angular momentum conservation
235	239 v kan delas upp i en komponent, vz=v0sin(beta)-gt^2/2 och en vinkelrät komponent som bara går runt cirkeln v_h=v0cos(beta) och inte påverkas av tyngdkraften. vertikalkompontenten för en viss höjd blir vv=(v0sin(beta))^2+2gh)^0.5 för vinkeln theta gäller då cos(theta)=v0cos(beta)/ (v0^2*cos^2(beta)+v0^2sin^2(beta) + 2gh)^0.5 cos(beta)/(1+2gh)^0.5