5/95 Lasten 0 i ändarna, 2.4 kN/m mellan A och B (avstånd 1,5m). Går ned linjärt till ändarna, 0.9 m till vänster om A, resp 1.2 m till höger om B Vänster triangel: Total last: -(0,9m * 2.4kN/m)/2= -1,08 kN Masscentrum: -0.9m/3=-0.3m Moment m.a.p.A 0.324 kNm Moment m.a.p. B = 1.944kNm Mittpartiet Total last: -2,4kN/m * 1,5m = -3,6kN Masscentrum: 0,75m Moment m.a.p. A: -0,75m3,6kN= -2,70kN m Moment m.a.p. B= 2,7 kNm Höger triangel: Total last: (1,2m 2,4kN/m)/2=-1,44kN/m Centrum: (1,5+ 0,4)m = 1,9 m Moment m.a.p. A: =1,9m * 1,44kN/m= -2,736kN/m Moment m.a.p. B: -0,576kNm Totalt: Totalt moment kring A: -5,112kNm + 1,5mR_B = 0 Totalt moment kring B: +4,068kNm - 1,5mR_A = 0 R_B = 3,41 kN R_A = 2,71 kN Inga krafter i x-led	5/101 Elliptisk lastfördelning + punktlaster (Halv)ellipsen symmetrisk kring x=0,5m, Ellipsen sträcker sig från -2m till 3m: a=5m/2 max last L₀=4kN/m Total last från ellipsen: Ytan av halvellips: pi * a* L₀ = 15,71 kN Totalt moment kring A: 0=M_A = -0,5m* 15.71kN + P4m - 20kNm +R_B8m Om R_B=0 erhålles P= (0,5m* 15.71kN + 20kNm)/4m =6,96kN
5/115. A: x=0, B: x=4m 2m: Last -4kN; 6m, last -2kN Rita skjuv och momentdiagram. Var är momentet 0? Reaktionskrafter Kraftjämvikt: R_A+ R_B = 6kN Momentjämvikt: R_A=1kN, R_B=5kN V(x)=v_o - integral av lasten mellan 0 och x. Detta ger x=0-2m: V=1kN x=2m-4m: V=-3 kN x=2m-6m: V=+2kN x > 6m: V=0 Moment: M(x)=integral V(x)dx. 0-2m: M= x1kN 2-4m: M=(2m - 3(x-2m))kN = (8m -3x)kN (2m: M=2kNm, 4m: M=-4kNm) 4-6m: M= (-4m + 2(x-4m))kN (4m: M=-4kNm, 6m M=0) Fråga: Var är M=0 (t.h. om A)?* I intervallet 2-4m blir M=0 om 3x=8m, dvs x=2,67m	5/123: Last startar med w_o i ändarna, 0 i mitten (L/2) styckvis linjärt. Rita V, M-diagram. Hur stort är maximala momentet? Uttryck för belastningen: x < L/2: w(x)=w₀(1-x/(L/2))= w₀(1-2x/L) x >L/2: w(x)= w₀(x-(L/2))/(L/2)= w₀(2x/L-1) Total last, w₀* L/2, delast mellan höger och vänster stöd V(x) = V_o+ integral w(x) V(0)= w₀* L/4 x < L/2: V(x)= V(0) - w₀ (x- x²/L) V(L/2)= V(0)- w₀ L/4 =0 x > L/2: V(x)= V(L/2)- [w₀ (x²/L - x)] V(L)= (0 - w₀ (L/4 -L/2) = - w₀ L/4 M(x)= integral V(x) x < L/2: M(x)= V(0)x - w₀ (x²/2 - x³/3L) M(0)= 0 M(L/2)= w₀* L² /8 - w₀ (L²/8 - L³/24L) = w₀* L² /24 detta är maximalt värde eftersom V byter tecken i mitten.
5/125: I-beam: Supports 4.5kN Force [(-2.7,3.6)kN at -1m ] and the 2kN couple [at (2,0.7)m ] . Calculate the shear V and the moment M and the section midway between A and B. Kraftjämvikt R_A+ R_B = -(-2.7,3.6)kN R_A endast i y-led, innebär att R_B måste ta upp hela kraften i x-led Kraften i x-led ger varken "shear" eller moment - betrakta endast y-led Momentjämvikt: M_A: (+3.6kN m + R_B1m + 3kN m ) = 0 Detta ger R_B = -6.6kN (i y-led) Ur kraftjämvikten följer då R_A= 6.6kN + 3.6kN = 10.2 kN Skjuvning mellan A och B. Skjuvdiagram: Till vänster om A: - 3.6kN, mellan A och B: (-3.6 + 10.2) kN. Efter B: 0 Moment: Använd Från 4.5kN kraften: (-3.6kN 1,5m)= -5,4kN Från R_A: 10.2kN *0.5m = 5,1kN Totalt: -0,3kN: (Se också fig 5/23 för teckenkonvention. Mittelementet dras upp av krafterna till vänster om det och ned av kraften från B. Se både översta och nedersta skissen i 5/23)	5/137: 15 m snöre spänns med 45 N. Snörets massa är 50g. Hur mycket hänger snöret ned? Observera: snörets massa är nästan försumbart i förhållande till spännkraften. Det kommer att vara nästan rakt. Som en första approximation kan vi därför anta konstant last fördelning i horisontell ledd. 2l=15m, m=50g, w=0,0327N/m, T=45N Använd T₀=w l_A²/(2h_A) (s 286) h_A= w l_A²/ (2T₀) Snöret hänger ned 20,4mm 1/147? Lätt kabel hänger från två punker på avstånd L. Spänningen i mitten är T₀. Last w=a+bx² där a=w₀ och lasten i ändarna är w₁, dvs (w₁- w₀)=b(L/2)^2. Tag fram ett uttryck för sag h d²y/dx² = w/T₀ Integration ger: y= (ax²/2 + b x⁴/12) /T₀ (Kommentar: Vi väljer y=0 för x=0 och stryker linjär term av symmetriskäl) För x=L/2 erhålles y(L/2) = (a(L/2)²/2 + b (L/2)⁴/12)/ T₀ Sätt in uttrycket för b y(L/2)= (L/2)² /T₀ (w₀/2 + (w₁- w₀)/12 ) = L² /48 T₀ ((6-1)w₀ + w₁)
5/187 Struktur i vatten Volym: V=pi(0.45^23+0.9^22.4)=8.0158 m³ M=5.7 Mg Detta är uppenbarligen inte stabilt. rhoV-M= Ballast: Bly, massa m, densitet 11.37 * vattnets Total massa M+m Vattnets lyftkraft: B=rho g (V+ m/(11.37 rho) ) Stabilitetskrav: B=0.85(M+m)g rhoV +m/11.27 =0.85(M+m) m=(0.85M-rhoV)/(0.85-1/11.37) rho (vatten)=1.0Mg/m³ m=(0.855.7 - 8.016)/ (0.85-1/11.37) Mg = Kommentar. m=4.16Mg för densitet 1. För Saltvatten 4.49Mg

5/95 Lasten 0 i ändarna, 2.4 kN/m mellan A och B (avstånd 1,5m). Går ned linjärt till ändarna, 0.9 m till vänster om A, resp 1.2 m till höger om B Vänster triangel: Total last: -(0,9m * 2.4kN/m)/2= -1,08 kN Masscentrum: -0.9m/3=-0.3m Moment m.a.p.A 0.324 kNm Moment m.a.p. B = 1.944kNm Mittpartiet Total last: -2,4kN/m * 1,5m = -3,6kN Masscentrum: 0,75m Moment m.a.p. A: -0,75m3,6kN= -2,70kN m Moment m.a.p. B= 2,7 kNm Höger triangel: Total last: (1,2m 2,4kN/m)/2=-1,44kN/m Centrum: (1,5+ 0,4)m = 1,9 m Moment m.a.p. A: =1,9m * 1,44kN/m= -2,736kN/m Moment m.a.p. B: -0,576kNm Totalt: Totalt moment kring A: -5,112kNm + 1,5mR_B = 0 Totalt moment kring B: +4,068kNm - 1,5mR_A = 0 R_B = 3,41 kN R_A = 2,71 kN Inga krafter i x-led	5/101 Elliptisk lastfördelning + punktlaster (Halv)ellipsen symmetrisk kring x=0,5m, Ellipsen sträcker sig från -2m till 3m: a=5m/2 max last L₀=4kN/m Total last från ellipsen: Ytan av halvellips: pi * a* L₀ = 15,71 kN Totalt moment kring A: 0=M_A = -0,5m* 15.71kN + P4m - 20kNm +R_B8m Om R_B=0 erhålles P= (0,5m* 15.71kN + 20kNm)/4m =6,96kN
5/115. A: x=0, B: x=4m 2m: Last -4kN; 6m, last -2kN Rita skjuv och momentdiagram. Var är momentet 0? Reaktionskrafter Kraftjämvikt: R_A+ R_B = 6kN Momentjämvikt: R_A=1kN, R_B=5kN V(x)=v_o - integral av lasten mellan 0 och x. Detta ger x=0-2m: V=1kN x=2m-4m: V=-3 kN x=2m-6m: V=+2kN x > 6m: V=0 Moment: M(x)=integral V(x)dx. 0-2m: M= x1kN 2-4m: M=(2m - 3(x-2m))kN = (8m -3x)kN (2m: M=2kNm, 4m: M=-4kNm) 4-6m: M= (-4m + 2(x-4m))kN (4m: M=-4kNm, 6m M=0) Fråga: Var är M=0 (t.h. om A)?* I intervallet 2-4m blir M=0 om 3x=8m, dvs x=2,67m	5/123: Last startar med w_o i ändarna, 0 i mitten (L/2) styckvis linjärt. Rita V, M-diagram. Hur stort är maximala momentet? Uttryck för belastningen: x < L/2: w(x)=w₀(1-x/(L/2))= w₀(1-2x/L) x >L/2: w(x)= w₀(x-(L/2))/(L/2)= w₀(2x/L-1) Total last, w₀* L/2, delast mellan höger och vänster stöd V(x) = V_o+ integral w(x) V(0)= w₀* L/4 x < L/2: V(x)= V(0) - w₀ (x- x²/L) V(L/2)= V(0)- w₀ L/4 =0 x > L/2: V(x)= V(L/2)- [w₀ (x²/L - x)] V(L)= (0 - w₀ (L/4 -L/2) = - w₀ L/4 M(x)= integral V(x) x < L/2: M(x)= V(0)x - w₀ (x²/2 - x³/3L) M(0)= 0 M(L/2)= w₀* L² /8 - w₀ (L²/8 - L³/24L) = w₀* L² /24 detta är maximalt värde eftersom V byter tecken i mitten.
5/125: I-beam: Supports 4.5kN Force [(-2.7,3.6)kN at -1m ] and the 2kN couple [at (2,0.7)m ] . Calculate the shear V and the moment M and the section midway between A and B. Kraftjämvikt R_A+ R_B = -(-2.7,3.6)kN R_A endast i y-led, innebär att R_B måste ta upp hela kraften i x-led Kraften i x-led ger varken "shear" eller moment - betrakta endast y-led Momentjämvikt: M_A: (+3.6kN m + R_B1m + 3kN m ) = 0 Detta ger R_B = -6.6kN (i y-led) Ur kraftjämvikten följer då R_A= 6.6kN + 3.6kN = 10.2 kN Skjuvning mellan A och B. Skjuvdiagram: Till vänster om A: - 3.6kN, mellan A och B: (-3.6 + 10.2) kN. Efter B: 0 Moment: Använd Från 4.5kN kraften: (-3.6kN 1,5m)= -5,4kN Från R_A: 10.2kN *0.5m = 5,1kN Totalt: -0,3kN: (Se också fig 5/23 för teckenkonvention. Mittelementet dras upp av krafterna till vänster om det och ned av kraften från B. Se både översta och nedersta skissen i 5/23)	5/137: 15 m snöre spänns med 45 N. Snörets massa är 50g. Hur mycket hänger snöret ned? Observera: snörets massa är nästan försumbart i förhållande till spännkraften. Det kommer att vara nästan rakt. Som en första approximation kan vi därför anta konstant last fördelning i horisontell ledd. 2l=15m, m=50g, w=0,0327N/m, T=45N Använd T₀=w l_A²/(2h_A) (s 286) h_A= w l_A²/ (2T₀) Snöret hänger ned 20,4mm 1/147? Lätt kabel hänger från två punker på avstånd L. Spänningen i mitten är T₀. Last w=a+bx² där a=w₀ och lasten i ändarna är w₁, dvs (w₁- w₀)=b(L/2)^2. Tag fram ett uttryck för sag h d²y/dx² = w/T₀ Integration ger: y= (ax²/2 + b x⁴/12) /T₀ (Kommentar: Vi väljer y=0 för x=0 och stryker linjär term av symmetriskäl) För x=L/2 erhålles y(L/2) = (a(L/2)²/2 + b (L/2)⁴/12)/ T₀ Sätt in uttrycket för b y(L/2)= (L/2)² /T₀ (w₀/2 + (w₁- w₀)/12 ) = L² /48 T₀ ((6-1)w₀ + w₁)
5/187 Struktur i vatten Volym: V=pi(0.45^23+0.9^22.4)=8.0158 m³ M=5.7 Mg Detta är uppenbarligen inte stabilt. rhoV-M= Ballast: Bly, massa m, densitet 11.37 * vattnets Total massa M+m Vattnets lyftkraft: B=rho g (V+ m/(11.37 rho) ) Stabilitetskrav: B=0.85(M+m)g rhoV +m/11.27 =0.85(M+m) m=(0.85M-rhoV)/(0.85-1/11.37) rho (vatten)=1.0Mg/m³ m=(0.855.7 - 8.016)/ (0.85-1/11.37) Mg = Kommentar. m=4.16Mg för densitet 1. För Saltvatten 4.49Mg