FÖ51 - endimensionell låda

1. avståndet mellan ena lådkanten och närmaste maximum hos sannolikhetstätheten
2. sannolikheten att hitta en elektron inom detta avstånd

Strategi?

• Hur ser vågfunktionen ut för olika n?
• Randvillkor i låda?
• Sannolikhet inom del av lådan? Definition? Integrera vågfunktionens kvadrat - hitta vågfunktionen!
• Finns det några symmetrier i problemet som man kan utnyttja?

Genomförande

• Skriv ner vågfunktionen för olika n.
• Var finns nollställen för olika n?
• Första maximum finns mellan 0 och första nollstället

  Kvadrera - skissa

n=[1:1:5]' ;
b=1;
E=n.^2*(pi/b)^2  % 2.4674  9.8696 22.2066 39.4784   61.6850
% (Försumma konstanten C där C*pi^2=h^2/8m)
x=[0:0.01:b];
psi=sin(n*x*pi/b);
clf
hold on
for k=1:5
  plot (x,E(k)+2*psi(k,:),'-')
end
pause

clf
hold on
for k=1:5
  plot (x,E(k)+2*psi(k,:).^2,'-')
end

pause
clf
plot (x,psi(5,:).^2,'-')

(Minima finns på alla platser mb/n. Första minimum på b/n, första max på halva detta avstånd, dvs b/2n eller i vårt fall b=10)

(Rimlighetsdiskussion? Har vi besvarat alla frågor?)

Fö52

Strategi?

• När en foton absorberas av elektronen i grundtillståndet går den till första exciterade tillståndet
• Fotonens energi svarar mot energiskillnaden mellan dessa tillstånd
• Dvs vi behöver ett uttryck för de lägsta energinivåerna.
• För två-dimensionell låda utnyttjas variabelseparation, vågfunktionen skrivs som produkt av endimensionella funktioner av x och y.
• Energin för två-dimensionell låda är summan av energierna för de två delarna av vågfunktionen (i "x och y-led" - men obs! Energi är en skalär - INTE en vektor)
• Vilket tillstånd har lägst energi? E_1,2 eller E_2,1 (Kortare sidlängd ger större avstånd mellan energinivåerna - E_1,2 bör vara lägst om längden i y-led är 5Å)
• Som avslutning räknas energin om till eV: (1eV=1.6 E-19 J)

Genomförande

• Separera vågekvationen, a=3Å, b=5Å
• Psi_m,n=A*sin(m*pi*x/a)*sin(n*pi*x/b)
• E_m,n=C* pi^2* [m^2/a^2 + n^2/b^2]
• C=h-streck^2/2m, dvs C* pi^2 =h^2/8m
• Grundtillstånd: E_1,1 = h^2/8m*(1/a^2 +1/b^2)
• Nästa energinivå är E_1,2 = h^2/8m*(1/a^2 +4/b^2)
• Energinivåer i elektronvolt:

   
  h=6.63E-34; %Js
  m=9.1E-31;  %kg
  a=3E-10;    %m eftersom 1Å =E-10m
  b=5E-10;
  e=1.6E-19;  % J/eV
  
  Egrund = (h^2/(8*m))*(1/a^2 +1/b^2) / e %5.7eV
  Eexc=   (h^2/(8*m))*(1/a^2 +4/b^2) / e  % 10.23 eV
  
  Efoton= Eexc -Egrund % 4.53 eV
  

• Den lägsta fotonenergin är alltså 4.53 eV
• Vilken våglängd?
• f=E/h, lamda=c/f = hc/E
• i matlab: c=3E8; lamda=h*c/(EfotonE*e) =2.7451e-07m
• dvs 2745 Å, lite före kortvågigt för synligt ljus.

• (Man kan också räkna ut "Ex,1 = 4.19eV och Ey,1=1.51eV )

Rimlighet:

Fö53

1. Vilken är den minsta energi hf₁ som en foton kan ha för att absorberas av lådan om den är en kub med kantlängden 3Å.
2. Antag att kantlängden ökas till 3cm. Hur många elektroner kan då maximalt rymmas i lådan om den högsta elektronenerign skall vara lika med grundtillståndsenergin i den mindre lådan?

Strategi

• För det första problemet behöver vi beräkna grundtillstånd och första exciterade tillståndet. Liknar förra problemet - men 3 dim + alla sidor lika.
• Grundtillståndsenergin för en kub blir 3*E₁, där E₁ är den lägsta energin i en låda med samma sida.
• oavsett vilken koordinat som har den exciterade vågfunktionen blir energin 3 E₁ högre, dvs dubbelt så hög som grundtillståndsenergin.
• Energin räknas om till fotonfrekvens

Genomförande, del a

• Vi kan utnyttja E₁=Ex=4.19eV från förra exemplet
• Excitationsenergin blir alltså Efoton=3E₁=12.6 eV
• frekvens: hf=Efoton.
• matlab: f=3*Ex*e/h = 3.04E15 Hz
• Rimlighet - detta är storleksordningen för synligt ljus och lite kortare.

Strategi, del b

• Större låda ger mindre avstånd mellan energitillstånden.
• Energin är proportionell mot 1/a^2
• Lådans sida ökar från 3Å till 3 cm, dvs en faktor 10^8
• Energin för en av riktningarna är också proportionell mot n^2, vilket innebär att om vi bara tittade i EN dimension skulle n kunna vara 10^8.
• Eftersom avståndet mellan tillståndet ökar kvadratiskt kan vi ha alla elektronerna i något av tillstånden från n=1 till=10^8
• Ingen av elektronerna kan vara i nästa tillstånd - även om övriga finns i grundtillståndet.
• Pauli-principen: Det får finnas endast EN elektron med exakt samma kvanttal.
• Till de 3 rymdkoordinaterna kommer SPIN (4 -dim, rumtid), ger en faktor 2
• Kombinera 10^8 tillstånd i varje koordinat: 10^24 tillstånd.
• 2*10^24 elektroner

Rimlighetskontroll