Chokladkakedivision eller Fourier-transform ?

Ann-Marie Mårtensson-Pendrill, Professor i teoretisk atomfysik. Ämnesexpert (matematisk-naturvetenskaplig fakultet) för lärarutbildningsnämnden (LUN) vid Göteborgs universitet. http://fy.chalmers.se/~f3aamp/

Sammanfattning: "Hur kan man spela tal och musik samtidigt i en högtalare?" Mycket trängs i lärarutbildningen. Hur påverkar urvalet av stoff möjligheten för framtida lärare att låta en fråga som denn, urssprungligen från en 13-åring, leda barnen vidare till intressanta generaliseringar och kanske med hjälp av IT visa hur tal och musik ser ut och analysera det. Hur skall urvalet göras? I seminariet diskuteras detta från olika utgångspunkter.

Hur kan man spela tal och musik samtidigt i en högtalare?

På en 13-årings fråga duger nog inte "Superpositions-principen som följer av att vågekvationen är linjär, och Fourier-transform", vilket kanske skulle kunna accepteras ett kort svar på en examinationsfråga i vågrörelselära på universitetet. Frågan pekar på stora och viktiga principer, som rymmer mycket innehåll - och är en utmaning att förklara för en högstadieelev. "Ja, men ditt öra kan ju höra både tal och musik" Eleven nöjer sig inte och undrar "Men hur kommer ljudet till högtalaren?". Lätt att förklara: "Man kan skicka signalen från en mikrofon till en högtalare." "Jaha!" Paus. "Men det är fusk för då har man ju redan signalen." Vad handlar frågan om egentligen? Barn som växt upp med dator kan vara ute efter hur man syntetiskt kan generera olika typer av ljud. Ett ettstruket a med första övertonen, är det kanske "440 Hz i en halv sekund och 880Hz i en halv sekund"? Nja, inte riktigt. Att leka med sinusfunktioner i ett lämpligt program eller programspråk kanske kan vara till hjälp. Ett nyfiket barn som får ett namn på det problemområde som undersöks, kanske några veckor senare på upptäcktsfärd i Världsväven hittar mer information, t.ex. ett program som kan laddas ned för att analyserar olika ljud och visa hur de "ser ut". Ett exempel kommer att demonstreras under seminariet.

Måste lärare kunna allt?

Behöver en högstadielärare kunna detta? Trigonometriska funktioner ingår naturligtvis inte i styrdokumentens krav på högstadieelevers kunskap, än mindre Fourier-analys. Spelar det då någon roll om en lärare mött det i sin utbildning? Blir det lättare att förklara om man inte själv förstått innebörden? Hur påverkar det möjligheten att låta en fråga som denna leda barnen vidare till intressanta generaliseringar?
      Vad behöver lärare kunna? Delvis handlar frågan om vilken matematik man tycker att elever som lämnar skolan skall kunna. Vilken matematik behöver "folket" kunna? Spelar matematiken - inte bara förmågan att räkna kronor och ören - någon roll i samhället? Det sägs ibland att ett av mänsklighetens stora problem är vår oförmåga att förstå exponentialfunktionen: Vi minns historien om schackbrädet, med 1 sädeskorn på första rutan, 2 på den andra, 4 på den tredje, osv. Ändå har vi svårt att överblicka konsekvenserna av det faktum att 2% årlig ökning leder till en dubbling på bara 35 år. Många system av praktiskt intresse, som t.ex. ekonomi, energiförsörjning och väder, är betydligt mer matematiskt krävande. Vårt samhälle blir alltmer komplext - den analytiska förmåga som tränas i matematik kan naturligtvis ge viktiga bidrag till beskrivning och förståelse. I viss utsträckning handlar frågan vad lärarstuderande behöver lära sig, om vad de behöver för att kunna ta till sig angränsande ämnen. En önskelista från fysikperspektiv har presenterats tidigare /1/. Kanske behöver läraren dessutom beredskap att kunna möta, utmana och stimulera barns nyfikenhet.
      Naturligtvis kan inte lärare kunna allt. Det är då viktigt att kunna gå vidare, kanske veta vem som vet, eller vem som vet vem som vet. Som lärarutbildande institutioner bör vi naturligtvis vara beredda att kunna stödja dem som tidigare varit våra studenter också då de kommit ut i skolorna. Här spelar också olika resurscentra en stor roll, och lärarstuderande bör under utbildningen få bekanta sig med deras möjligheter.

Barns frågor och kunskapens gränser

Inför barns frågor ställs man snabbt vid sin kunskaps gränser. En djup matematisk förståelse hos läraren gör det naturligtvis lättare att inte avvisa intressanta frågor utan istället locka fram ett matematiskt och naturvetenskapligt tänkande hos eleverna och hjälpa dem att gå vidare i sina tankar och undersökningar.
     Barn har en naturlig nyfikenhet och är ofta öppna för matematiska idéer som enligt kursplanerna ska tas upp mycket senare. "Hur långt kan man räkna?", "Hur kan man rita 3D-bilder på datorn?", "Finns det något som beror på slumpen - för om vi vet hur det är nu så skulle man väl i princip kunna räkna ut vad som händer i framtiden?"
      Många matematikpoäng i lärarutbildningen ägnas åt "räkning". Att dela tänkta chokladkakor kan naturligtvis vara ett utmärkt sätt att åskådliggöra divisionsbegreppet för barn i de lägre årskurserna, men för lärare i grundskolans senare stadier finns det också mycket annan matematik som kan vara till glädje och nytta, såväl för den studerande som för de framtida eleverna.
     För att rita 3-dimensionella bilder behövs en god förståelse av koordinatsystem, men också av transformationer mellan olika koordinatsystem och projektioner på en yta (dvs "skärmen"). Detta görs enklast med matriser, vilket även ett barn upptäcker efter att ha laddat ned lite hjälpfiler. "Real programmers aren't afraid of math."/2/ Matriser behandlas inte alls i skolan, utan kommer in först i linjär-algebra kurserna på universitetet, där dock tillämpningen på 3D-bilder saknas.
     Frågan om något beror på slumpen har stora filosofer grubblat länge över. Jersild har en intressant diskussion om problemet "fri vilja"/3/. Insikten att Newtons lagar leder till determinism är viktig. Laplace' demon bör inte viftas bort med ett kort svar. "En god fråga skall inte besvaras utan ligga och gro som ett frö för vidare undersökningar". Så småningom kanske man kan berätta om "fjärilseffekten" (att en fjäril som viftar med vingen i Los Angeles kan orsaka ett åskväder i Göteborg två veckor senare) och skicka de nyfikna att läsa James Gleicks spännande bok /4/ om upptäckten av "Kaos". Med dator och experiment kan man undersöka kaotiska system och fraktaler /5/. När eleverna hunnit ta till sig några av de nya tankegångarna kan det vara dags att komma in på böcker som diskuterar Heisenbergs osäkerhetsrelation /6/.
     " ...för då var det bestämt att jag skulle tänka så här. Och då var det bestämt att jag skulle tänka att det var bestämt att jag skulle tänka ..."

Jag vill tacka mina barn för utmanande frågor och diskussioner, och en envishet att gå vidare med egna undersökningar för att förstå.

Referenser

  1. A.-M. Pendrill, "Mathematics in teacher education - what do students need for science studies?", LUMA 1998, http://fy.chalmers.se/~f3aamp/lektor/matkrav.html
  2. M. Feldman, PC Game Programmers Encyclopedia, Algorithms, 3D Rotation, http://www.geocities.com/SiliconValley/2151/pcgpe.html
  3. P. C. Jersild, Darwins ofullbordade (kap 3), Bonnier Alba Essä (1997)
  4. J. Gleick, "Chaos: Making a New Science", Penguin, (1988)
  5. C. Lanius, Fractals - A Fractals Unit for Elementary and Middle School Students, http://math.rice.edu/~lanius/frac/
  6. t.ex. R. Stannard, "Farbror Albert och Kvantjakten", Valentin förlag (1995) (Uncle Albert and the Quantum Quest, Faber and Faber, 1994)

http://fy.chalmers.se/~f3aamp/luna/biennal.html
1999-11-01, AMP