naturvetenskaplig Problemlösning, Feb -96

Energiförbrukning i ett hus

Uppskatta energiförbrukningen i ett hus med längd L, bredd B, höjd S och väggtjocklek d. Försumma värmeförluster genom golv och tak. Välj själv väggmaterial och lämpliga värden på L, B, S, d, inner- och yttertemperatur. Värmeledningen bestäms av temperaturfördelningen enligt

j = - k

där k är värmelednings-koefficienten. Värmeledningen kan lämligen delas upp i x- och y- komponenter:

j_x=- k dT/dx

j_y= -k dT/dy

Exempel på värmelednings-koefficient för olika väggmaterial finns i tabell . Om det inte finns någon energi-tillförsel i ett område gäller div

. j = 0, vilket tillsammans med sambandet mellan j och T ger en ekvation för temperaturfördelningen :

² T = 0.

Som en förövning kan man titta på en platta där ena väggen hålls vid en högre temperatur än de övriga.

Temperaturfördelning

Bestäm först temperaturfördelningen i väggen (dvs i x- och y-led, vi antar att fördelningen är z-oberoende) ur ekvationen del

² T = 0. Representera T(x,y) i ett antal punkter (välj själv lämpligt antal) T(i,j), med avstånd h mellan intill-liggande punkter. del

²T kan då representeras med "finita differens"-formeln

²T(i,j) = (T(i+1,j)+T(i-1,j) +T(i,j+1) + T(i,j-1) -4T(i,j) ) / h² +O(h²)

Ur relationen del

² T = 0 följer då att

T(i,j) =(T(i+1,j) + T(i-1,j) + T(i,j+1) + T(i,j-1)) / 4

dvs. temperaturen i varje punkt kan approximeras med medeltemperaturen hos de 4 märmsta grannarna.

Börja t.ex. med att sätta temperaturen till 0°C för alla punkter utom på innerväggen där T sätts t.ex. till 20°C. Löp sedan över alla punkter i väggen och räkna ut ett nytt värde på temperaturen ur medeltemperaturen hos de 4 närmsta grannarna. Upprepa detta tills skillnaden i temperaturfördelning mellan två iterationer blivit tillräckligt liten! (Välj själv lämpligt kriterium för "tillräckligt liten"!) Åskådliggör temperaturfördelningen grafiskt!

Värmeflödet genom väggen

Värmeflödet i varje punkt bestäms av j = - k del

T. De olika komponenterna av värmeflödet i en punkt (i,j) kan approximeras t.ex. med

j_x(i,j) = -k ( T(i+1,j)-T(i,j) ) /h

j_y(i,j) = -k ( T(i,j+1)-T(i,j) ) /h

Åskådliggör gärna grafiskt värmeflödet t.ex. vid innerväggen och/eller ytterväggen.

Värmeflödet genom ett ytelement dS i väggen blir j·dS, dvs bara flödet vinkelrätt mot ytan bidrar till värmeförlusterna. Ytelementen i detta fall väljs lämpligen med bredd = avståndet h avståndet mellan två punkter (vi representerar då den del av väggen som ligger på avståndet ±h/2 från en given punkt) och höjd = takhöjden S. Genom ett sådant ytelement på vänster vägg får vi då flödet -j_x h S, medan flödet ut genom höger vägg i stället blir +j_x h S. Hörnen ger ett bidrag (t.ex. med trapetsformeln). (±j_x±j_y)hS /2 (där tecknen naturligtvis beror på vilket hörn som avses).

Utvidgningar

Arbeta sedan med utvidgningar av detta problem. Frågor att undersöka kan vara

Hur förändras temperaturfördelning och värmeflöde om
- materialet i väggarna byts
- kvoten mellan längd och bredd ändras
- väggjockleken ändras
Hur långt ifrån hörnen märks deras påverkan på temperaturfördelningen?
Numerisk noggrannhet
- Vad händer om man byter steglängd, h
- Kan noggrannheten förbättras på annat sätt än att minska steglängden?
- Hur stor steglängd behövs för att uppnå rimlig noggrannhet?
Randvillkor: Är de antagna randvillkoren rimliga? Skulle du kunna förbättra dem?
Vad händer om man har en vägg bestående av två olika material med olika värmeledningsförmåga?

Naturvetenskaplig problemlösning, Feb. 1996, http://fy.chalmers.se/~f3aamp/matlab/hus.html
Ann-Marie.Pendrill@fy.chalmers.se