Tentamen för Från Galileo till Hawking, NP, 13 oktober 2001, lösningsskisser.
  1. Vid nymåne ligger månen mellan solen och jorden, nästan på en rät linje (när de ligger precis på en rät linje blir det solförmörkelse). Efter en vecka och tre veckor är det halvmåne, när måne - jord - sol bildar en rät vinkel. Efter första veckan ser månen ut som ett D (vilket håll rör sig månen runt jorden?) och efter två veckor ligger jorden mellan månen och solen (och om det är en exakt rät linje så att "jorden skuggar solens strålar" blir det månförmörkelse)
  2. Sätt upp enheter:
    Ansats: r= C Pa b där C är en dimensionslös konstant.
    Sätt in enheter:
    m = (kg m-1 s-2 )a (kg s-2 )b
    Sätt potenserna lika: Detta ger tre ekvationer: 1=-a, 0=a+b, 0=-2a-2b, (överbestämt ekvationssystem!) med lösningen a=-1, b=1, dvs
    r= C /P

    (Obs, Newton är inte någon grundenhet. 1N=kg m/ s2)

    Resultatet kan verka lite överraskande: Större övertryck ger mindre radie. Stämmer det? Blås ett par bubblor och se vad som händer när de kommer nära varandra. enligt resultatet bör det vara större tryck i den mindre bubblan och ytan som förenar dem bör alltså bukta inåt mot den större bubblan.

  3. Pulkan: Tyngdkraften mg delas upp i sina komponenter: Tyngdkraftens komponent utmed backen: mg sin v. Normalkraften blir N = mg cos v och friktionskraften N. Den resulterande kraften nedför backen blir: F= mg sin v - mg cos v mg (sin v - cos v).
    1. Accelerationen för lutningen 20o blir alltså (enlig F=ma):
      a=g (sin v - cos v)= 2.6m/s2.

    2. Om friktionskraften precis uppväger tyngdkraftens komponent utmed planet blir accelerationen noll. Detta inträffar när sin v / cos v= , dvs v= arctan () = 4.9o.
  4. En Atwood-maskin:
    1. Både spindeln och flugan har samma storlek på accelerationen, men flugan accelereras nedåt och spindeln uppåt: Båda känner sammat kraft, S, från tråden:
      Resulterande kraft uppåt på spindeln: S-msg =msa.
      Resulterande kraft nedåt på flugan: mfg - S = mfa.
      Lös ut a och S. a = g (mf - ms) / (mf + ms). (Båda massorna acceleras, men kraften för att accelerera dem blir bara skillnaden i deras massor)
    2. Kraften i tråden om flugan inte accelereras är mfg. Om denna kraft verkar på spindeln måste den accelerera så att msg + msa = mfg, dvs a=(mf - ms)g /ms.
  5. Floden var 5 m under bron. 5 m faller man på en sekund (det får ni gärna komma ihåg: Medelhastigheten under en sekunds fall är 5 m/ eftersom starthastigheten är 0 och sluthastigheten 10m/s (eller 9.82 om ni hellre vill hålla på med det). Om han landade 20 m framför måste han ha färdats minst 20m/s i horisontell led, dvs 72 km/tim. Troligen mer, eftersom han också hade energi att förstöra staketet!
  6. Ur diagrammet ser vi att omloppstiden T är omkring 30 sek. Centripetalaccelerationen får vi enklast u avvikelserna från 1 i högsta lägsta punkten (vilken är vilken?), använd r=a* T^2/(4 pi^2). För a = 0.05g får man r= 11.4 m och för 0.06g, r= 13.7m

  7. Centripetal-acceleration: g= v2/r = r w2. Sätt in w= 2 pi/T. Detta ger g=r 4 pi2 /T2, w=0.1/s, v=100 m/s på avståndet 1000m från centrum.
    Rita först figur i ett stationärt koordinatsystem för att se hur långt, s, skruvmejseln faller. Man kan t.ex. sätta upp Pythagoras sats: s2 + (800m)2 = (1000 m)2, vilket ger s=600m, Skruvmejselns fart blir c:a 80m/s och sträckan avverkas på 7.5s.
    Överkurs: Vinkeln mellan stegen i startläget och skruvmejselns nedslagspunkt asin(0.6)=370. Under tiden har stegen hunnit 0.1 * 7.5 radianer, dvs. ungefär 43o.
  •   8)
    1. b) Meterstaven vägen 1kg (var ligger stavens tyngdpunkt?)
    2. c) (Arkimedes princip!)
    3. a) (Tidsdilatationen gör att en stationär klocka skulle visa 4.15 om kvinnam rör sig med 80 km/tim fram till kl 4 (dvs hon stannade lite tidigare)
    4. c) Jo - genom att kasta något plagg, t. ex. (Rörelsemängdens bevarande)
    5. Rörelsemängden bevaras i centralrörelse, dvs ändras inte alls under rörelsen runt solen.
    6. Med hjälp av solen och en klocka kan du bestämma longitud (Vad är klockan i Greenwich när solen står högst på himlen?) För latitudbestämning kan man använda solen (om man vet vilket datum det är) eller polstjärnan.
    7. Masscentrum ligger stilla: ms * xs = - mb * xb. Han rör sig alltså 4 gånger så mucket som båten (och i motsatt riktning). Snobben flyttar sig 1.6m framåt, medan båten går 0.4 m bakåt
    8. Både fart och acceleration ökar
    9. c) Florida: Lättast att skicka åt öster ( med hjälp av jordens rotation. Florida är lättare än Moskva eftersom det ligger närmare ekvatorn.
    10. Det nedfallande regnet har ingen rörelsemängd i horisontell led, men ökar massan på vagnen. Rörelsemängden måste delas på en större massa, vilket innebär att vagnens fart minskar. Det utrinnande vattnet påverkar inte farten (däremot leder det till en minskning av den totala rörelsemängden)
    11. c) Rörelsemängdens bevarande igen: Masscentrum ligger stilla - stången tippar inte (förrän den lättaste bollen, som går fortast trillar av stången)
    12. Rörelsemängsmomentets bevarande gör det svårt för honom att vända sig. Han skulle dock t.ex. kunna snurra med armarna framåt för att själv snurra bakåt och sedan sluta snurra när han vill stanna.