Mekanik F del B vt 1997,
        inlämningsuppgifter omgång 1

        Lösningar lämnas senast onsdagen 16 april, på föreläsningen eller i en låda utanför O7114.

        1. När vi härledde Lagranges ekvationer (enligt kompendiet) utlovades att de skulle vara giltiga även om relationen mellan de generaliserade koordinaterna och inertialkoordinater var explicit tidsberoende. Denna uppgift syftar till att undersöka sanningen i det påståendet genom att räkna ett exempel, dels på "vanligt" sätt, m.h.a. Newtons 2:a lag, dels m.h.a. Lagranges ekvationer, och jämföra resultaten. Ett relativt enkelt system kan bestå av en massa fäst i en fjäder, vars andra ändes position är given av någon funktion f(t), men det går alldeles utmärkt att hitta på andra exempel själv.

        2. I en rymdstation har man skapat ett "artificiellt gravitationsfält" genom att låta hela stationen rotera med en konstant vinkelhastighet . Hur stor skall vara för att skapa förhållanden så lika jordytans som möjligt om man normalt i rymdstationen vistas på radien R från rotationsaxeln? Om man en morgon vaknar, och har glömt huruvida man befann sig på rymdstationen eller på jorden, skulle ett sätt att avgöra det kunna vara att hänga en pendel i taket och se hur den rör sig (man skulle också kunna fråga någon). Pendelns längd är inte försumbar i jämförelse med rymdstationens radie. Finn rörelseekvationen för pendeln m.h.a. Lagranges formalism! Avgör också huruvida det räcker att betrakta "små" svängningar för att få svar på frågan, och kommentera, förstås, skillnaden jämfört med samma experiment utfört på jordytan!

        3. Ett enkelt system med kopplade svängningar är t.ex. det i figuren nedan:

        (det som sitter mellan massorna försöker föreställa fjädrar). Om man tänker sig att den högra massan är mycket tung, verkar det som om den i praktiken fungerar som en "vägg"; om den å andra sidan är mycket lätt bör den inte alls inverka på den vänstra, och man kan direkt i båda fallen skriva ned vad den vänstra massans svängningar har för vinkelfrekvens. Undersök om detta stämmer med de resultat man får för de kopplade svängningarna i dessa gränser (för att inte krångla till det för mycket kan man t.ex. låta fjäderkonstanterna vara lika)! Undersök också andra gränser där en massa eller fjäderkonstant tar extrema värden, och jämför med vad man väntar sig skall hända!

        Senast modifierad 19 mars 1997 av
        Martin Cederwall, tfemc@fy.chalmers.se