Mekanik F del B vt 1997,
inlämningsuppgifter omgång 2

Lösningar lämnas senast tisdagen 6 maj, på föreläsningen eller i en låda utanför O7114.

1.a. Två kroppar, som har samma massa, och vars samtliga komponenter av tröghetstensorn är lika, kallas för stelkroppsekvivalenta. Motivera denna benämning! Visa att ett system av tre lika masspunkter som bildar en liksidig triangel är stelkroppsekvivalent med en cirkel! Visa att ett system av fyra lika masspunkter, bildande en regelbunden tetraeder, är stelkroppsekvivalent med en sfär! (Man kan räkna explicit, men det finns &så fiffigare sätt.)
b. Tre lika massor med liten utsträckning befinner sig i punkterna

och är förbundna med lätta pinnar. Beräkna tröghetstensorn för denna stela kropp. Diagonalisera den, och ge en tydlig geometrisk tolkning av den ortogonala matris som diagonaliserar tröghetstensorn!

2. I uppgift 7.39 ges ett uttryck för den kinetiska energin för en rotationssymmetrisk kropp i det allmänna fall då ingen av vinklarna antas konstant. Härled detta uttryck! Använd det för att skriva ned Lagranges ekvationer då det finns ett vridande moment från gravitationen! Demonstrera att reguljär precessionsrörelse (dvs. konstant ) utgör lösningar (vilket inte är någon nyhet)! För att det inte skall bli alltför krångligt kan man nöja sig med att visa att kan vara 90 grader och konstant. En mer allmän lösning innefattar "nutation", dvs. oscillationer i vinkeln . Undersök små sådana svängningar kring det horisontella läget ovan! Ledning: eftersom lagrangefunktionen inte beror på de andra vinklarna, är motsvarande generaliserade rörelsemängder rörelsekonstanter.

3. I en "Dolda kameran"-episod har man monterat in ett svänghjul i en resväska. Väskan tas hand om av en piccolo på ett finare hotell, som så fort han försöker svänga utsätts för en överraskning. Diskutera hur svänghjulet bör monteras för att det skall bli så roligt som möjligt! Diskutera &så huruvida man realistiskt sett kan uppnå en "stor" effekt!

Senast modifierad 11 april 1997 av
Martin Cederwall, tfemc@fy.chalmers.se