Mekanik F del B vt 1997,
        lösningar till inlämningsuppgifter omgång 1

        1. T.ex. följande: Låt partikelns läge i ett inertialsystem vara x, och relativt fjäderns avspända läge y. Då är x=y+f(t). Newtons 2:a ger

        Om man istället använder Lagrange, så har man
        och Lagranges ekvation för y blir
        De båda metoderna ger samma resultat, så det verkar fungera även med "tidsberoende koordinater", men lägg märke till att den kinetiska energin är "den riktiga".

        2. Centripetalaccelerationen på radien R är R, så detta bör vara lika med tyngdaccelerationen vid jordytan, g.

        De två delarna av massans hastighet i figuren är dels den som beror på rymdstationens rotation, med beloppet , dels den som beror på pendels rörelse, med beloppet . Vektorsummans belopp ges av cosinusteoremet med vinkeln mellan dessa två hastigheter.
        Ur figuren ser man dels att sträckan s ges av , dels att . Lagrangefunktionen består endast av den kinetiska energin:
        En liten räkning ger vid handen att rörelseekvationen för vinkeln är
        Pendlen rör sig alltså precis som i ett homogent gravitationsfält, och metoden var inte lyckad. Man vet fortfarande inte om man befinner sig på rymdstationen eller på jorden (försåvitt man inte har frågat någon). Men om man hänger pendeln på olika höjder får man förstås olika frekvenser.

        Detta gällde alltså då man lät pendeln svänga i ett plan vinkelrätt mot rymdstationens rotationsaxel. Man kan naturligtvis också fundera på att låta den svänga i ett plan som innehåller rotationsaxeln (eller bildar någon annan vinkel mot den). Om man ställer upp Lagranges ekvationer för detta andra fall (som är enklare, eftersom de två bidragen till hastigheterna är vinkelräta), får man verkligen en avvikelse från den vanliga pendelekvationen. För att denna rörelse skall vara möjlig, måste pendeln dock vara konstruerad så att den inte har någon frihet att avvika frå det planet. Om pendeln verkligen har två frihetsgrader, kommer dess rörelse att avvika från det plan man avsåg att den skulle svänga i ("corioliskraft", vi skall behandla detta senare i kursen).

        3. Vi löser först rörelsen för allmänna värden på massorna och fjäderkonstanterna. En rättfram räkning visar att rörelseekvationerna för de två massorna kan skrivas som

        där matriserna K och M och vektorn X ges av
        Både massor och fjäderkonstanter är numrerade från vänster, och koordinaterna är inertiala. Man kan skriva om detta som , där , så att kvadraterna på egenfrekvenserna hos systemet ges av egenvärdena till denna matris. Dessa kan ganska enkelt lösas ut. Vi nöjer oss med att ge dem för de fall då antingen fjäderkonstanterna eller massorna är lika:
        Nu vill man undersöka vad som händer då t.ex. den högra massan är mycket stor jämfört med den vänstra. Utveckling i kvoten , som är liten, ger de två egenvärdena
        Om nu alltså den andra massan var mycket stor, får man dels en egenfrekvens som är den man väntar sig när den första massan svänger mellan två fjädrar med sammanlagd fjäderkonstant 2k, dels en egensvängning som är mycket långsam (det går förstås också bra att tolka dessa frekvenser i fallet att det är den första massan som blir liten - det är ju bara den dimensionslösa kvoten som är viktig; då skulle man säga att den första av frekvenserna var mycket snabb, och den andra vad man väntar sig av en massa i två seriekopplade fjädrar). Båda frekvenserna har alltså en naturlig tolkning här, och överensstämmer med vad man kan tro. Det som alltid händer är förstås att den andra egenfrekvensen finns kvar men blir mycket liten eller mycket stor beroende på gräns. Om man löser ut egenvektorerna, dvs. amplitudvektorerna för egensvängningarna, får man
        Det ser ut att stämma bra: i övre fallet är den högra massan som en "vägg" för den vänstra, och rör sig mycket litet, i det andra svänger mittpunkten på den seriekopplade fjädern hälften så mycket som ändpunkten.
        Andra fall behandlas på sätt som är väldigt lika (fast med litet annorlunda tolkningar).

        Senast modifierad 25 mars 1997 av
        Martin Cederwall, tfemc@fy.chalmers.se