Mekanik F del B vt 1997,
        lösningar till inlämningsuppgifter omgång 2

        1. Benämningen motiveras av observationen att om dessa parametrar är lika för två kroppar, så rör de sig likadant under inverkan av samma yttre påverkan (krafter och moment).

        Den liksidiga triangeln kan inskrivas i en cirkel med radien , där a är triangelns sida. Tröghets momentet m.a.p. en axel vinkelrät mot triangelns plan är uppenbarligen , då all massa ligger på avståndet a från axeln, och av symmetriskäl måste denna vara en huvudtröghetsaxel. Tre andra huvudtröghetsaxlar är de som går genom masscentrum och ett av triangelns hörn, och eftersom de inte är vinkelräta måste de svara mot samma egenvärde (vilket alltså innebär att alla axlar i detta plan ger samma egenvärde). Egenvärdet är . Allt stämmer med cirkelns tröghetsmoment.

        Den liksidiga tetraedern kan inskrivas i en sfär med radien

        där a är tetraederns sida. Här hittar man fyra olika axlar (de genom hörnen) med samma tröghetsmoment, och som spänner alla riktningar i rummet. Alltså är tröghetsmatrisen diagonal i alla system, och proportionell mot enhetsmatrisen. Tröghetsmomentet räknas ut till , vilket stämmer med det för en sfär.

        2. Med riktningar enligt figuren har man rotationsvektorn


        Eftersom har uttryckts i basvektorer som pekar längs kroppens huvudtröghetsaxlar, kan den kinetiska energin skrivas som
        ( och är tröghetsmomenten m.a.p. spinnaxeln resp. axlarna vinkelrät mot den.) Rörelseekvationerna för och säger att motsvarande rörelsemängdsmoment är konserverade. De är
        Dessa är förstås två komponenter av rörelsemängdsmomentet som pekar vinkelrätt mot det moment som tyngdkraften åstadkommer. Rörelseekvationen för är

        [sista termen i denna och nästa ekvation skall förstås innehålla sin och inte cos; korrigerat 970522]
        (l är avståndet från den fixa punkten till masscentrum.) och tar man och använder uttrycken för vinkelhastigheterna får man
        Villkoret för reguljär precession är att den "effektiva kraften" i denna rörelseekvation skall vara noll. Vi kan gå in i den första av dem och sätta spinn- och precessionshastigheter konstanta, så ser man att man reproducerar vad vi tidigare härlett. Då snurran står horistontellt får man speciellt
        Om man utvecklar rörelseekvationen kring detta läge m.h.a.
        blir den
        varur vinkelfrekvensen kan utläsas:
        L betecknar alltså här rörelsemängdsmomentet i "jämviktsläget". Resultatet verkar rimligt: de små svängningarna vrider kroppen runt m-axeln, och det är därför ganska naturligt att bara talar om "hur trögt det är".

        3. Här är det förstås svårt att ge några precisa svar. Vad som är roligt och inte är ganska subjektivt, men man vill nog att det skall hända något alls när piccolon försöker svänga med väskan. Antag att han försöker svänga åt vänster, och alltså anbringar ett vridande moment som är riktat ungefär uppåt. Då får man maximal effekt om rotationsaxeln är riktad vinkelrätt mot momentet. Om den är riktad framåt eller bakåt tenderar väskan att tippa upp respektive ned (framkanten alltså), och det kanske är roligare om den vickar ut eller in (dvs. från eller mot piccolon), vilket man föredrar är nog en fråga om hur sadistisk man vill vara. Då bör axeln vara riktad åt vänster respektive höger. Motsvarande argument om han svänger åt höger. Exakt vad som händer beror förstås på hur piccolon reagerar. Bäst blir det om han envisas och vrider hårdare. Man kan &så diskutera vad som är en stor effekt. Jag tror att man skall eftersträva så stort rörelsemängdsmoment som möjligt, för då beter sig väskan så litet som möjligt som bäraren önskar; även om vinkeländringen, uppskattad enligt

        blir mindre med stora L, så blir ju vridningen i den "avsedda" riktningen mindre. Det är nog svårt att få större tröghetsmoment än storleksordningen 1 kg m och med en vinkelhastighet på sådär 100 rad/s, så skulle det krävas ett moment av storleksordningen 100 Nm i 1 s för att få en hyfsad vridning på väskan; det verkar ligga inom det möjliga för en envis person... Senast modifierad 22 maj 1997 av
        Martin Cederwall, tfemc@fy.chalmers.se