Mekanik F del B vt 1997,
        lösningar till inlämningsuppgifter omgång 3

        1.

        En av många möjligheter är att göra såhär. Händelsen A har x=a, t'=0. Lorentztranformationen mellan systemen ger direkt att
        t=va,
        x'=a(1-v)=a(1-v).
        Vinkeln ges alltså av tan=v. Sträckan som i diagrammet har betecknats med s (jag menar alltså vad man mäter om man tar en linjal och lägger på diagrammet, inte att förväxla med någon verklig längd) är s=a(1+v). Den "skalfaktor" man måste multiplicera med för att komma från denna avlästa sträcka till ett avstånd i S'-systemet är
        Samma skalfaktor gäller förstås för t'.

        2. Längdkontraktion:

        Ur figuren fås (återigen är s bara ett avstånd mellan två punkter på pappret)
        l=s cos - s sin tan, och med användande av
        sin=v(1+v), cos=(1+v) blir detta l=s(1-v)(1+v). Vi justerar med skalfaktorn ovan och får l'=l. Denna härledning verkar betydligt mindre genomskinlig än den "ursprungliga"...
        Man kan förstås titta på en stav som är i vila i S-systemet; då blir härledningen precis lika lätt som för tidsdilatationen nedan. Jag visar denna varianten här mest för att visa att det går bra även om man skulle välja "fel" system.

        Tidsdilatation:

        Detta är enklare: direkt ur figuren får man, med korrektion för skalfaktorn,

        "Skenbar längd":

        Observatören i C ser ett föremål, som man kan tänka sig som en stav, närma sig med farten v. Han mottar samtidigt ljussignaler från händelserna A och B. Vi kan läsa av relationen mellan l och den skenbara längden L ur diagrammet som l=L-L tan=(1-v)L. Alternativt använder man Lorentztransformationen tillsammans med informationen att A och B är förbundna med en ljussignal för att få: L=x=l+vt=ct, vilket ger samma resultat. Relationen mellan den skenbara längden och vilolängden är då

        Om föremålet istället avlägsnar sig blir det samma överläggning, fast med omvänt tecken på v, så reultatet blir här
        Notera att den skenbara längden hos ett föremål som närmar respektive avlägsnar sig alltid är större respektive mindre än vilolängden. Det är heller ingen tillfällighet att uttrycken ser precis likadana ut som uttrycken för Dopplereffekten; exakt samma resonemang leder fram till relationen mellan utsänd och observerad våglängd hos en ljussignal!

        3.

        För att få en uppfattning om huruvida en relativistisk räkning är nödvändig, kan man ta reda på huruvida den frigjorda energin i sönderfallet är jämförbar i storlek med vilomassorna hos reaktionsprodukterna. Den frigjorda energin (jag tar mig friheten att sätta c=1) är
        så den är i samma storleksordning som elektronmassan, men mycket mindre än protonmassan. Detta innebär att man måste räkna relativistiskt på elektronen, men däremot inte på protonen (i alla fall med den noggrannhet som siffrorna är givna med). Konserveringslagarna ger då:
        Å andra sidan visar det sig vara (minst) lika enkelt att behandla även protonen relativistiskt (såvitt man inte inser att protonens kinetiska energi kommer att vara mycket mindre än elektronens, så att sista termen i andra ekvationen kan försummas), så jag gör den räkningen istället. Ekvationerna är nu:
        För att eliminera u från ekvationerna kan man använda
        Genom att använda denna identitet i den första ekvationen och lösa ut (u) ur den andra får man ganska direkt
        Eftersom ekvationerna är symmetriska mellan protonen och elektronen har man också
        (man behöver förstås inte utföra utvecklingen för små u, men det ger bättre numerisk precision. Resultatet stämmer väl med den första uppskattningen: elektronen blir starkt relativistisk medan protonen får en mycket liten hastighet. Senast modifierad 16 maj 1997 av
        Martin Cederwall, tfemc@fy.chalmers.se