Tentamen i Mekanik F del B

Tid: Tisdag 13 januari 1998, kl. 14¹⁵-18¹⁵.
Lokal: VV.
Jourhavande assistent: David Gustafsson, ankn. 3173.
Hjälpmedel: TEFYMA, Standard Math Tables, Beta, Physics Handbook, valfri miniräknare samt egenhändigt skriven A4-sida.
Lösningarna anslås på institutionens anslagstavla i Fysicums trapphus samt på entrédörren till trapphuset omedelbart efter skrivningens slut. Resultatlistan anslås senast fredagen 6 februari.

Förklara införda storheter och motivera ekvationer och slutsatser! Kontrollera svar m.a.p. dimension och rimlighet (krävs i förekommande fall för full poäng)! Även skisserade lösningar och fysikaliska resonemang kan poängsättas. Beskriv vad du gör! Rita!

Varje uppgift ger maximalt 15 poäng. För betyg 3,4 och 5 krävs 30, 40 resp. 50 poäng.

1. En liten kloss med massan m glider friktionsfritt inuti en tunn ring med radien R ochmassan M, som kan rulla utan glidning på ett horisontellt underlag (se figuren). Hur många frihetsgrader har systemet, om rörelsen förutsätts försiggå i figurens plan? Använd Lagranges formalism för att skriva ned systemets rörelseekvationer, och finn egenfrekvensen/-erna för små svängningar! Glöm inte att kontrollera rimligheten, t.ex. för någon extrem uppsättning parametervärden!

2. En stel kropp kan som bekant utföra precessionsrörelse även i frånvaro av yttre krafter. Om en planet observeras utföra reguljär precessionsrörelse (vi talar alltså om dess rotation kring sitt masscentrum - rotationen kring solen kan vi strunta i) och såväl spinn- och precessionshastigheterna som vinkeln mellan spinn- och precessionsaxlarna har uppmätts, vilken information kan man därav sluta sig till om planetens egenskaper, speciellt något mått på hur den avviker från att vara sfäriskt symmetrisk? Vi antar här att planeten fortfarande är rotationssymmetrisk kring en axel; om så inte skulle vara fallet (vilket kan inträffa för mindre himlakroppar, som asteroider), kommentera kort hur dess rörelse då kan tänkas se ut!
3. En massa m är fäst i en fjäder med naturlig längd a och är fritt och friktionsfritt rörlig i ett horisontalplan. Fjäderns andra ände är fixerad i en punkt i planet. Hela anordningen befinner sig på breddgraden , dvs. vinkeln från nordpolen är 90^°-. Med hänsynstagande till corioliskraften som verkar då massan är i rörelse, skriv ned rörelseekvationerna för massan i polära koordinater kring den fixa punkten (centrifugalkraften p.g.a. jordens rotation kan försummas; den är konstant, och kan tillsammans med gravitationskraften få definiera vad man menar med "horisontell")! Använd vinkeldelen av rörelseekvationen för att finna en rörelsekonstant! Tolka och förklara denna rörelsekonstant, t.ex. genom att betrakta den då rörelsen försiggår nära en av polerna! Använd rörelsekonstanten för att skriva den radiella delen av rörelseekvationen i termer av en "effektiv kraft"! Betrakta speciellt rörelse med =konstant (i frånvaro av corioliskraft svarar denna rörelse mot =0, och massan svänger helt enkelt fram och tillbaka runt sitt jämviktsläge)! Hur lång tid tar det för massan att fullborda ett varv? Vilken är vinkelfrekvensen för den radiella svängningen vid denna typ av rörelse?
4. I filmen Contact färdas huvudrollsinnehavaren (Jodie Foster) till en planet i Vega, på 26 ljusårs avstånd från jorden. Medan hon själv upplevde att hon var ute i 18 timmar, betvivlade man på jorden att resan alls ägt rum; om så var fallet måste det skett under den c:a tiondel av en sekund då radiokontakten med henne var bruten. Diskutera huruvida denna tidsdilatation är möjlig inom ramen för speciell relativitetsteori, och i så fall huruvida den är förenlig med det angivna avståndet! (I filmen förklaras inte resan ha ägt rum i ett platt minkowskirum, utan genom att den maskin man byggt hade konstruerat ett s.k. "wormhole", en "tub" som förbinder två annars avlägsna platser i rummet.)