Tentamen i Mekanik F del B

Tid: Tisdag 27 maj 1997, kl. 14¹⁵-18¹⁵.
Lokal: MN.
Jourhavande assistent: Alexander von Gussich, ankn. 3159.
Hjälpmedel: TEFYMA, Standard Math Tables, Beta, Physics Handbook, valfri miniräknare samt egenhändigt skriven A4-sida.
Lösningarna anslås på institutionens anslgstavla i Fysicums trapphus samt på entrédörren till trapphuset omedelbart efter skrivningens slut. Resultatlistan anslås senast onsdagen 11 juni.

Förklara införda storheter och motivera ekvationer och slutsatser! Kontrollera svar m.a.p. dimension och rimlighet (krävs i förekommande fall för full poäng)! Även skisserade lösningar och fysikaliska resonemang kan poängsättas. Beskriv vad du gör! Rita!

Varje uppgift ger maximalt 15 poäng. För betyg 3,4 och 5 krävs 30, 40 resp. 50 poäng.

1. Nedan följer tio påståenden. Avgör vilka av dem som är sanna respektive falska, och ge en (gärna mycket) kortfattad motivering till ditt svar!

   i.

   Corioliskraften är mycket mindre än tyngdkraften vid rörelse på jordytan.

   ii.

   Ett mekaniskt system med 3 frihetsgrader som utför små svängningar kring ett stabilt jämviktsläge har i allmänhet 3 egenfrekvenser.

   iii.

   Den "relativistiska" dopplereffekten beror bara på att ljusvågorna "trängs samman" respektive "tänjs ut" när källa och observatör närmar resp. fjärmar sig varandra; den kan räknas ut rent icke-relativistiskt.

   iv.

   Galileo Galileis experiment som visade att olika kroppar faller "lika fort" kan ses som ett test av ekvivalensprincipen.

   v.

   Tidvattnet kan (delvis) ses som en effekt av att den fiktiva kraften beroende på jordens translationsrörelse runt solen är konstant över hela jorden, medan gravitationskraften från solen varierar med avståndet från solen.

   vi.

   En stel kropp har sex frihetsgrader.

   vii.

   Den mest allmänna typ av rotationsrörelse en stel kropp kan utföra utan påverkan av yttre krafter är reguljär precessionsrörelse.

   viii.

   Frekvensen vid motrörelse är i allmänhet högre än den vid medrörelse.

   ix.

   För två godtyckliga händelser kan man alltid hitta inertialsystem i vilka de inträffar i olika ordning i tiden.

   x.

   Einsteins speciella relativitetsteori skiljer sig från Newtons mekanik bl.a. genom att fysikens lagar är lika i alla inertialsystem.

2. Två lika massor är via likadana linjära fjädrar fästa i varsin vägg. De två massorna svänger inte oberoende av varandra, utan växelverkar via en tredje fjäder fäst mellan dem. De tre fjädrarna befinner sig i linje, och massornas rörelser är begränsade till denna linje. Inför en dimensionslös parameter ("kopplingskonstant") som mäter hur starkt de två massornas svängningar är kopplade! Använd Lagranges formalism för att skriva ned rörelseekvationerna. Bestäm egenfrekvenserna och motsvarande amplitudvektorer! Skissera de båda egenfrekvensernas beroende på kopplingskonstanten! Om kopplingskonstanten är liten, och systemets begynnelsevillkor är sådana att endast den ena massan (den högra, säg) rör sig, medan den andra befinner sig i jämviktsläget, kommer uppenbarligen det först verka bara som den ena massan utför harmonisk svängning. Hur lång tid tar det tills förhållandet är det motsatta, dvs. tills (så gott som) all mekanisk energi har förts över till den vänstra delen av systemet? Om kopplingkonstanten är mycket stor, kontrollera båda vinkelfrekvensernas värden med vad du "direkt" kan läsa av från systemet!

3. En rotationssymmetrisk kropp är fixerad i en punkt och fritt ledad kring den. Den rör sig under inverkan av tyngdkraften. Vi kan som bekant parametrisera dess rörelse m.h.a. tre vinklar: , associerad med spinnrörelse (rotation kring symmetriaxeln), , associerad med precessionsrörelse (rotation kring en rumsfix vertikal), och , associerad med nutationsrörelse (ändring av vinkeln från vertikalen till symmetriaxeln, dvs. rotation kring en horisontell axel vinkelrät mot dem båda), och den kinetiska energin är då
   Genom att lösa rörelseekvationerna för och , som säger att motsvarande generaliserade rörelsemängder, dvs. komponenter av rörelsemängdsmomentet, är bevarade, kan man ersätta och i den kinetiska energin med uttryck som bara beror på (och konstanter som bestäms av begynnelsevillkoren). På så sätt erhåller man ett uttryck för den totala energin där bara en koordinat () och dess hastighet syns. Gör detta! Nu kan man låtsas att man har endimensionell rörelse, och de delar av den kinetiska energin som berodde på och ser nu ut som en del av den potentiella energin, eftersom de bara beror på . Nutationsrörelse skiljer sig, som vi sett, från "vanlig" rotation såtillvida att man typiskt har oscillationer i vinkeln . Beskriv hur man kan uttnyttja det "endimensionella" uttrycket för energin (kinetisk + potentiell) för att, med givna begynnelsevärden, bestämma "vändlägena", dvs. de vinklar som varierar mellan!
   Betrakta det speciella fallet då man släpper snurran i med enbart spinnhastighet . Rimligen bör snurran till en början falla nedåt; resonera utifrån riktningarna på moment och rörelsemängdsmoment vilket tecken precessionshastigheten sedan (i början av rörelsen) får! Beräkna vid vilken -vinkel snurran vänder uppåt igen! Använd konserveringslagarna för att verifiera att tecknet på precessionshastigheten ovan var riktigt! Gör en grov skiss av den bana som snurrans spets beskriver!

4. En partikel med vilomassan M sönderfaller spontant till två partiklar med vilomassorna m och n. Man vill veta hastigheterna för dessa två partiklar efter sönderfallet. Vad är kriteriet för att processen alls skall vara möjlig (det kan också finnas andra kriterier, "urvalsregler", som måste vara uppfyllda, t.ex. på partiklarnas spinn, men det går vi inte in på här)? Vilka kriterier bör vara uppfyllda för att det skall vara möjligt att behandla den ena eller båda partiklarna icke-relativistiskt? Bestäm båda partiklarnas hastigheter (eller, mer praktiskt, deras -faktorer) i fallet då relativistisk räkning är nödvändig för båda (räkningen kan göras i valfritt inertialsystem)! Kontrollera också direkt från ditt svar i vilka fall någon av hastigheterna blir icke-relativistisk!