Preliminär kursplanering
utskriftsvänlig version
Kursplaneringen är nu uppdaterad för hela läsperioden. Obs! datum på föreläsningsanteckningarna stämmer ej (refererar till förra årets föreläsningstillfällen). För korrektioner av tryckfel i föreläsningsanteckningarna, klicka här!

VC = Läroboken "Vector Calculus" av P. C. Matthews
PLK = Problemlösningskompendiet till kursen
 
 
 
 

Detta är en preliminär planering över undervisningen i kursen och är tänkt att hjälpa dig att få ut så mycket som möjligt av föreläsningarna. Till varje föreläsningsdag finns förberedelser, innehåll och hemarbete. Föreläsningarna kommer att utgå från de frågeställningar som dyker upp när du gör förberedelser och troligen att omfatta det mesta av det material som beskrivs under innehålll. Tänk på att det inte är föreläsningarna som definierar kursen, utan en del material förväntas du att inhämta under räkneövningarna, datorövningarna, eller genom att läsa läroboken. Föreläsningarna kommer att ge en översikt av vektoranalysens teoretiska struktur, och diskutera hur vektoranalysen kan användas i fysikaliska modeller, medan räkneövningarna kommer att ta sin utgångspunkt i gruppens kunskaper och betona det praktiska räknandet.

• Läsvecka 1
• Läsvecka 2
• Läsvecka 3
• Läsvecka 4
• Läsvecka 5
• Läsvecka 6
• Läsvecka 7
• Tentamenssvecka

 

Läsvecka 1

Tisdag (2/9): Föreläsning
Tema: Vad är ett fält?

Förberedelser: (fundera över följande frågor)

• Vad är ett fält? -- leta exempel i olika situationer du känner till och försök även hitta exempel på nivåytor och fältlinjer. Vilka koordinatsystem används i dina exempel?
• Hur kan vi grafiskt representera ett skalärt fält? Ett vektorfält?
• Repetera sfäriska och cylindriska (polära) koordinater. Hur förhåller sig olika koordinater till varandra? Vad är ortsvektorn i de olika systemen?
• Läs kursPM, bläddra igenom boken och försök få en uppfattning om vad kursen kommer att innehålla.

Innehåll:

• Nivåytor, ekvipotentialytor, fältlinjer, riktningsderivator, fältbilder
• Föreläsningsanteckningar

Hemarbete:

• Läs kap. 1 och 3.2 i VC (kap 1.1 - 1.5 är repetition av vad ni redan har lärt er om vektorer).
• Se till att kunna
• ta fram en fältbild från ett givet fält, även i olika koordinatsystem, notera differentail ekvtationen för fältlinjer.
• omvandla fält givet i ett koordinatsystem till ett annat. Träna!
• tolka gradienten fysikaliskt/matematiskt

Fredag (5/9) Föreläsning
Tema: Integraler, Gauss och Stokes satser

Förberedelser: (fundera över följande frågor)

• Vad innebär det matematiskt och fysikaliskt att integrera ett vektorfält längs en kurva? Över en yta? Över en volym?
• Hur kan vi matematiskt beskriva en kurva? En yta? en volym?
• Vad är den fysikaliska betydelsen av ytintegralen av ett vektorfält över en sluten yta?
• Vad är den fysikaliska betydelsen av en kurvintegral längs en sluten kurva? Hur avgör man om ett fält är konservativt?
• Repetera multipelintegraler från den matematiska analysen.
• Repetera Gauss sats och divergens från den matematiska analysen.
• Repetera Stokes sats och rotation från den matematiska analysen.

Innehåll:

• Kurvintegraler, ytintegraler och volymsintegraler
• Parametrisering av kurvor, ytor och volymer
• Gauss sats och begreppet divergens
• Stokes sats och begreppet rotation
• Konservativa fält och potentialer
• Föreläsningsanteckningar

Hemarbete:

• Läs kap. 2, 5.1-5.1.2, 5.2-5.2.1 och 3.3-3.4 i VC.
• Se till att kunna
• finna en parametrisering till en kurva, en yta eller en volym.
• föstå de fysikaliska tolkningarna av de olika typerna av integraler.
• beräkna kurv-, yt- och volymsintegraler.
• beräkna ytintegraler med Gauss sats.
• tolka divergensen fysikaliskt/matematiskt.
• beräkna integraler med Stokes sats
• beräkna rotationen av ett vektorfält i kartesiska koordinater.
• tolka rotation fysikaliskt/matematiskt.

 

Läsvecka 2

Tisdag (9/9) Föreläsning
Tema: Integralberäkning

Förberedelser: (fundera över följande frågor)

• Hur parametriserar jag en kurva? En yta?
• Hur sluter jag en yta?
• Vilken yta är det som har den slutna kurvan C som rand?
• Repetera Gauss och Stokes satser

Innehåll i föreläsningen

• Beräkning av kurvintegraler genom parametrisering
• Beräkning av ytintegraler genom parametrisering
• Beräkning av ytintegraler med Gauss sats
• Beräkning av kurvintegraler med Stokes sats
• Föreläsningsanteckningar

Hemarbete

• Räkna VC 2.1, VC 2.2, VC 2.3, VC 2.5, VC 2.6, VC 5.8, VC 5.9, PLK Kap. 2.2, Uppg. 1, 2, 3 , Kap. 2.4 Uppg. 2, 3, 7

Tisdag (9/9) Räkneövning
Innehåll:

• diskussion av fält och fältbilder
• arbete med basvektorer och vad kroklinjiga basvektorer innebär.
• Demonstrationsuppgifter vecka 1 och 2
• Räkna PLK kap. 1.1: Uppg. 1, 2, 3, 4, 5 (VC 1.16, VC 1.17,)

Fredag (12/9): Föreläsning
Tema: Kroklinjiga koordinater och deriveringsregler

Förberedelser: (fundera över följande frågor)

• Vad är en basvektor i cylindriska koordinater? I sfäriska koordinater?
• Vad innebär det att man deriverar en vektor?
• Hur ser ett divergent vektorfält ut i cylindriska koordinater? I sfäriska koordinater?
• Hur ser rotationen hos ett vektorfält ut i cylindriska koordinater? I sfäriska koordinater?
• Vad innebär det matematiskt och fysikaliskt att derivera ett vektorfält? Ett skalärt fält? På hur många sätt kan vi derivera ett fält?

Innehåll:

• Ortogonala kroklinjiga koordinater. Basvektorer och skalfaktorer.
• Gradient, divergens och rotation i kroklinjiga koordinater.
• Cylindriska och sfäriska koordinater.
• Räkneregler för vektoroperatorerna.
• Gauss- och Stokes-analoga satser.
• Föreläsningsanteckningar och kompletterande anteckningar sida 1 , sida 2, sida 3 och sida 4

Hemarbete:

• Läs kap. 4, 5.1.3, 5.2.2 och 6 i VC.
• Se till att kunna
• finna koordinatytor och koordinatkurvor för kroklinjiga koordinater.
• bestämma basvektorer och skalfaktorer.
• uttrycka vektoroperatorerna i kroklinjiga koordinater.
• de cylindriska och sfäriska koordinatsystemen.
• räknereglerna för vektoroperatorerna

 

Läsvecka 3

Tisdag (16/9): Föreläsning
Föreläsning: Integralberäkning med hjälp av kroklinjiga koordinater

Förberedelser: (fundera över följande frågor)

• När är divergensen för ett fät noll, om fältet skrivs i cylinderkoordinater? Sfäriska koordinater?
• När är rotationen för ett fält noll om fältet uttrycks i cylinderkoordinater?

Innehåll:

• Vanliga typer av singulariteter hos fält
• Integraler av fält med singulariteter
• Föreläsningsanteckningar

Hemarbete:

• Se till att kunna
• känna igen punktkällor och linjekällor
• känna igen virveltrådar
• beräkna integraler av fält med singulariteter

Tisdag (16/9) Räkneövning
Innehåll:

• integralberäkning med Gauss sats
• integralberäkning med Stokes sats
• räakneregler för vektoroperatorer
• integralberäkning med Gauss- och Stokes-analoga satser
• Räkna VC 4.12, VC 4.13, VC 4.16, VC 4.17, VC 4.18, VC 4.19, VC 5.10, VC 5.11, VC 5.12, PLK Kap. 2.4, Uppg. 1, 4, Kap. 2.5 Uppg. 7, Kap. 3, Uppg. 1, 2, 4

 

Fredag (19/9): Föreläsning
Tema: Mer integralberäkning

Förberedelser: (fundera över följande frågor)

• Repetera uttrycken för divergens och rotation i cylindriska och sfäriska koordinater

Innehåll:

• Integralberäkning i cylindriska och sfäriska koordinater
• Föreläsningsanteckningar och kompletterande anteckningar sida 1 , sida 2, och sida 3

Hemarbete:

• Räkna PLK Kap. 4.3 Uppg. 7, 8, 9, 13, 14, 15

 

Läsvecka 4

Tisdag (23/9): Föreläsning
Tema: Fysik: potentialteori och värmeledning

Förberedelser: (fundera över följande frågor)

• Hur kan jag beräkna den potential som en godtycklig mass- eller laddningsfördelning ger upphov till?
• Hur fortplantar sig värme?
• Vad måste jag veta i förväg för att kunna beräkna en temperaturfördelning i ett givet objekt.
• Hur kan ett kemiskt ämne sprida sig?

Innehåll:

• Potentialteori, Laplace-ekvationen.
• Potentialen från en punktkälla.
• Greens funktion
• Utbredda källfördelningar
• Värmeledning
• Transport genom diffusion
• Laplace-ekvationer med randvillkor
• Föreläsningsanteckningar

Hemarbete:

• Läs kap. 8.1 i VC.
• Se till att kunna
• Laplace-ekvation.
• förstå den fysikaliska betydelsen av Greens funktion vid lösningen av en Laplace-ekvation.
• förstå härledningen av värmeledningsekvationen.
• hur man löser Laplace-ekvationen med randvillkor.

Tisdag (23/9): Räkneövning:
Innehåll:

• skalfaktorer och basvektorer i kroklinjiga koordinatsystem
• vektoroperatorer i kroklinjiga koordinater
• Demonstrationsuppgifter vecka 3 och 4
• Räkna VC 6.2, VC 6.3, PLK Kap. 4.1 Uppg. 1, Kap. 4.2, Uppg. 1, 3, Kap. 4.3 Uppg. 1, 2

 

Fredag (26/9): Föreläsning
Tema: Fysik: Elektromagnetisk fältteori och potentialteori

Förberedelser: (fundera över följande frågor)

• Hur kan jag beräkna den potential som en godtycklig mass- eller laddningsfördelning ger upphov till?
• Hur uppkommer magnetiska fält?

Innehåll:

• Elektromagnetiska fält
• Maxwells ekvationer och elektromagnetiska vågor.
• Potential och vektorpotential
• Föreläsningsanteckningar

Hemarbete:

• Läs kap. 8.2 i VC.
• Se till att kunna
• Gauss sats för elektriska fält
• härleda elektromagnetiska vägor ur Maxwells ekvationer
• uttrycka magnetfältet som en vektorpotential och det elektrostatiska fältet som en potential

 

Läsvecka 5

Tisdag (30/9): Föreläsning
Tema: Lösning av Poissons ekvation

Förberedelser: (fundera över följande frågor)

• Repetera lösningen av ordinära differentialekvationer
• Hur många randvärden behöver en ordinär differentialekvation?

Innehåll:

• lösning av Poisson-ekvationen med randvillkor
• Föreläsningsanteckningar

Hemarbete:

• Räkna PLK Kap. 6.1, Uppg. 6, 7, 8, 12

Tisdag (30/9): Räkneövning
Innehåll:

• beräkning av integraler i kroklinjiga koordinater
• Räkna PLK Kap. 4.3, Uppg. 17, 18, 19, 20

 

Fredag (3/10): Föreläsning
Tema: Fysik: Hydrodynamik

Förberedelser: (fundera över följande frågor)

• Vilka kvantiteter bevaras i hydrodynamiska processer?
• Vilka enkla antaganden leder till väsentliga förenklingar av de hydrodynamiska ekvationerna?
• Hur kan vi approximativt lösa en icke-lineär differentialekvation, och när gäller lösningen?

Innehåll:

• Hydrodynamik. Inkompressibla flöden och potentialflöden.
• Vorticitet.
• Bernoullis ekvation
• Linjariseringar av ekvationerna
• Föreläsningsanteckningar
• Förenklad härledning av Eulers ekvation:sid 1, sid 2, och sid 3.

Hemarbete:

• Läs kap. 8.5 i VC.
• Se till att kunna
• skriva om rotationsfria flöden som en potential och lösa den resulterande differentialekvationen.
• förenkla inkompressibla flöden.
• lineärisera en icke-lineär differentialekvation.

 

Läsvecka 6

Tisdag (7/10): Föreläsning
Tema: Repetition

Förberedelser: (fundera över följande frågor)

• Vad känner jag mig osäker på?

Tisdag (7/10): Räkneövning
Innehåll:

• lösning av Laplace-ekvationen
• beräkning av potentialer och vektorpotentialer
• Demonstrationsuppgifter vecka 5 och 6
• Räkna Kap. 5.1 Uppg. 1, 2, 3, VC 8.1, Kap. 6.1 Uppg. 1, 2, 3, 4, 5, 11, 13, VC 8.2, VC 8.4, VC 8.5

Fredag (10/10): Föreläsning
Tema: Repetition
 

Läsvecka 7

Måndag (13/10):Räkneövning
Innehåll:

• lösning av hydrodynamiska problem
• Räkna VC 8.11

Tisdag (14/10): Föreläsning
Tema: Repetition

Förberedelser: (fundera över följande frågor)

• Vad känner jag mig osäker på?

Innehåll:

• Repetition: Vi räknar tillsammans ett urval av gamla tentamensproblem.
• Augustitentan 2006 med lösningsskisser: sida 1, sida 2, sida 3, sida 4 och sida 5
• Januaritentan 2004 med lösningsskisser: sida 1, sida 2, sida 3, sida 4 och sida 5
• Fler nygamla tentor med lösningsskisser finner du här

Hemarbete: repetition!

Tisdag (14/10): Räkneövning
Innehåll:

• Repetition

Onsdag (15/10): Föreläsning
Tema: Repetition

Förberedelser: Innehåll:

• Vi räknar tillsammans Oktobertentan från 2005.
  Oktobertentan 2005, sid 1, sid 2, med lösningsskisser: sida 1, sida 2, sida 3, sida 4

Tentamensvecka

Tentamen: Förmiddagen tisdag 21/10, Hörsalsvägen.

Lycka till!